Giúp mình với!

Câu 1: Phủ định của mệnh đề "với mọi" là "có tồn tại". Do đó, mệnh đề phủ định của mệnh đề $\forall x\in\mathbb{R}:x^2\geq4$ là $\exists x\in\mathbb{R}:x^2< 4$. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~^{\prime\prime}\exists x\in\mathbb{R}:x^2<4^{\prime\prime}. \] Câu 2: Phủ định của mệnh đề "Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán" sẽ là "Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán". Lập luận từng bước: - Mệnh đề gốc nói rằng tồn tại ít nhất một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán. - Phủ định của mệnh đề này sẽ khẳng định rằng không có học sinh nào trong lớp 10A không thích học môn Toán, tức là mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán. Do đó, đáp án đúng là A. "Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán". Câu 3: Phủ định của mệnh đề "với mọi" là "có tồn tại". Do đó, mệnh đề phủ định của mệnh đề $P:"\forall x\in\mathbb{R}:x^2+1\ne0"$ là $D.~\overline P:"\exists x\in\mathbb{R}:x^2+1=0"$. Câu 4: Phủ định của mệnh đề tồn tại (\(\exists\)) là mệnh đề với mọi (\(\forall\)). Đồng thời, dấu bất đẳng thức cũng sẽ đổi chiều. Mệnh đề ban đầu là: \[ \exists x \in \mathbb{Z},~x^2 - 3x - 4 < 0 \] Mệnh đề phủ định của nó sẽ là: \[ \forall x \in \mathbb{Z},~x^2 - 3x - 4 \geq 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~^{\prime\prime}\forall x\in\mathbb{Z},~x^2-3x-4\geq0^{\prime\prime}. \] Câu 5: Mệnh đề $^{\prime\prime}\exists x\in\mathbb{R}:x^2-1\geq0^{\prime\prime}$ có nghĩa là tồn tại ít nhất một số thực $x$ sao cho $x^2 - 1 \geq 0$. Mệnh đề phủ định của nó sẽ là: Mọi số thực $x$ đều không thỏa mãn $x^2 - 1 \geq 0$, tức là mọi số thực $x$ đều thỏa mãn $x^2 - 1 < 0$. Do đó, mệnh đề phủ định của $^{\prime\prime}\exists x\in\mathbb{R}:x^2-1\geq0^{\prime\prime}$ là $^{\prime\prime}\forall x\in\mathbb{R}:x^2-1< 0^{\prime\prime}$. Vậy đáp án đúng là: \[ B.~^{\prime\prime}\forall x\in\mathbb{R}:x^2-1<0^{\prime\prime}. \] Câu 6: a) Đúng. Vì \( x = \frac{1}{2} \) là số hữu tỉ thỏa mãn phương trình \( 4x^2 - 1 = 0 \). b) Sai. Vì \( n = 9 \) thì \( n + 2 = 11 \) không là số nguyên tố. c) Sai. Vì \( x = 1 \) thì \( (x - 1)^2 = x - 1 \). d) Sai. Vì \( n = 1 \) thì \( n^2 = n \). Câu 7: a) Mệnh đề P(1) có dạng: 1 > $\frac{1}{1}$. Ta thấy rằng 1 = 1, do đó mệnh đề này là sai. b) Mệnh đề P(-$\frac{1}{3}$) có dạng: -$\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{-\frac{1}{3}}$. Ta thấy rằng $\frac{1}{-\frac{1}{3}}$ = -3, do đó -$\frac{1}{3}$ > -3 là đúng. Vậy mệnh đề này là đúng. c) Mệnh đề ∀x ∈ ℕ, P(x) có nghĩa là "với mọi số tự nhiên x, x > $\frac{1}{x}$". Xét x = 1, ta có 1 > $\frac{1}{1}$ là sai. Do đó, tồn tại ít nhất một giá trị của x trong tập ℕ làm cho mệnh đề P(x) sai. Vậy mệnh đề này là sai. d) Mệnh đề ∃x ∈ ℕ, P(x) có nghĩa là "tồn tại ít nhất một số tự nhiên x sao cho x > $\frac{1}{x}$". Xét x = 2, ta có 2 > $\frac{1}{2}$ là đúng. Do đó, tồn tại ít nhất một giá trị của x trong tập ℕ làm cho mệnh đề P(x) đúng. Vậy mệnh đề này là đúng. Câu 8: a) Ta có \( P(1) = 1^2 - 6 \cdot 1 + 10 = 1 - 6 + 10 = 5 \). Vì 5 không chia hết cho 3 nên mệnh đề này sai. b) Ta có \( P(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 10 = 4 - 12 + 10 = 2 \). Vì 2 là số chẵn nên mệnh đề này sai. c) Ta có \( P(2n) = (2n)^2 - 6 \cdot 2n + 10 = 4n^2 - 12n + 10 \) và \( P(n) - 1 = n^2 - 6n + 10 - 1 = n^2 - 6n + 9 \). Ta cần kiểm tra \( P(2n) > P(n) - 1 \): \( 4n^2 - 12n + 10 > n^2 - 6n + 9 \) \( 4n^2 - 12n + 10 - n^2 + 6n - 9 > 0 \) \( 3n^2 - 6n + 1 > 0 \) Với \( n = 1 \): \( 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 1 = 3 - 6 + 1 = -2 \) Vì \(-2\) không lớn hơn 0 nên mệnh đề này sai. d) Ta có \( \frac{2P(n) - 1}{n - 3} = \frac{2(n^2 - 6n + 10) - 1}{n - 3} = \frac{2n^2 - 12n + 20 - 1}{n - 3} = \frac{2n^2 - 12n + 19}{n - 3} \). Để \( \frac{2n^2 - 12n + 19}{n - 3} \) là số nguyên, ta cần tìm \( n \) sao cho \( 2n^2 - 12n + 19 \) chia hết cho \( n - 3 \). Ta thử các giá trị của \( n \): - Với \( n = 4 \): \( \frac{2 \cdot 4^2 - 12 \cdot 4 + 19}{4 - 3} = \frac{32 - 48 + 19}{1} = \frac{3}{1} = 3 \) (số nguyên) Vậy tồn tại số tự nhiên \( n = 4 \) thỏa mãn điều kiện \( \frac{2P(n) - 1}{n - 3} \) là số nguyên. Đáp số: Mệnh đề a) sai, b) sai, c) sai, d) đúng.