Trả lời câu đúng

Mốt của bảng số liệu là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong bảng số liệu. Ta thấy: - Số 150 xuất hiện 1 lần. - Số 15 xuất hiện 1 lần. - Số 154 xuất hiện 1 lần. - Số B5 xuất hiện 1 lần. - Số 155 xuất hiện 1 lần. - Số 158 xuất hiện 1 lần. - Số 159 xuất hiện 1 lần. - Số 160 xuất hiện 1 lần. - Số 161 xuất hiện 1 lần. - Số 162 xuất hiện 2 lần. - Số 163 xuất hiện 2 lần. - Số 16 xuất hiện 1 lần. - Số 165 xuất hiện 2 lần. - Số 166 xuất hiện 1 lần. - Số 167 xuất hiện 1 lần. Như vậy, các số xuất hiện nhiều lần nhất là 162, 163 và 165, mỗi số xuất hiện 2 lần. Do đó, mốt của bảng số liệu này không tồn tại vì không có giá trị nào xuất hiện nhiều hơn các giá trị khác. Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu chọn đáp án gần đúng nhất, thì ta sẽ chọn đáp án có tần suất xuất hiện cao nhất. Trong trường hợp này, cả 162, 163 và 165 đều xuất hiện 2 lần, nhưng đáp án đúng theo lựa chọn đưa ra là: A. 162. Câu 9: Giá trị gần đúng của $\sqrt{11}$ chính xác đến hàng phần trăm là 3,32. Lập luận: - Ta có giá trị gần đúng của $\sqrt{11}$ là 3,31662479. - Để làm tròn giá trị này đến hàng phần trăm, ta so sánh chữ số ở hàng phần nghìn (6) với 5. - Vì 6 > 5, nên ta làm tròn lên một đơn vị ở hàng phần trăm. Do đó, giá trị gần đúng của $\sqrt{11}$ chính xác đến hàng phần trăm là 3,32. Đáp án: C. 3,32. Câu 10: Để tìm tọa độ tâm của đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 6x - 4y + 9 = 0$, ta cần đưa phương trình này về dạng chuẩn của phương trình đường tròn: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), trong đó \((a, b)\) là tọa độ tâm và \(r\) là bán kính. Bước 1: Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\): \[ x^2 + 6x + y^2 - 4y + 9 = 0 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\). - Đối với \(x^2 + 6x\), ta thêm và bớt \((\frac{6}{2})^2 = 9\): \[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \] - Đối với \(y^2 - 4y\), ta thêm và bớt \((\frac{-4}{2})^2 = 4\): \[ y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4 \] Bước 3: Thay các biểu thức đã hoàn thành bình phương vào phương trình ban đầu: \[ (x + 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 + 9 = 0 \] Bước 4: Đơn giản hóa phương trình: \[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0 \] \[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4 \] Từ phương trình trên, ta thấy rằng đường tròn có tâm \(I(-3, 2)\) và bán kính \(r = 2\). Vậy tọa độ tâm của đường tròn là \(I(-3, 2)\). Đáp án đúng là \(B.~I(-3;2)\). Câu 11: Để khai triển biểu thức \((x-1)^4\), chúng ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton hoặc thực hiện phép nhân trực tiếp. Cách 1: Sử dụng công thức nhị thức Newton: \[ (a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k \] Trong trường hợp này, \(a = x\), \(b = 1\) và \(n = 4\). Ta có: \[ (x - 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} (-1)^k \] Tính từng hạng tử: - Khi \(k = 0\): \[ \binom{4}{0} x^{4-0} (-1)^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4 \] - Khi \(k = 1\): \[ \binom{4}{1} x^{4-1} (-1)^1 = 4 \cdot x^3 \cdot (-1) = -4x^3 \] - Khi \(k = 2\): \[ \binom{4}{2} x^{4-2} (-1)^2 = 6 \cdot x^2 \cdot 1 = 6x^2 \] - Khi \(k = 3\): \[ \binom{4}{3} x^{4-3} (-1)^3 = 4 \cdot x \cdot (-1) = -4x \] - Khi \(k = 4\): \[ \binom{4}{4} x^{4-4} (-1)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \] Ghép tất cả các hạng tử lại: \[ (x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \] Cách 2: Thực hiện phép nhân trực tiếp: \[ (x - 1)^4 = (x - 1)(x - 1)(x - 1)(x - 1) \] Nhân từng cặp: \[ (x - 1)(x - 1) = x^2 - 2x + 1 \] Tiếp tục nhân: \[ (x^2 - 2x + 1)(x - 1) = x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x + x - 1 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \] Cuối cùng: \[ (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)(x - 1) = x^4 - x^3 - 3x^3 + 3x^2 + 3x^2 - 3x - x + 1 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \] Vậy, khai triển của \((x-1)^4\) là: \[ A.~x^4-4x^3+6x^2-4x+1 \] Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta cần chọn một nhóm trưởng, một thư ký và một ủy viên từ 10 thành viên, mỗi người chỉ giữ một chức vụ duy nhất. Bước 1: Chọn nhóm trưởng. - Có 10 cách chọn nhóm trưởng từ 10 thành viên. Bước 2: Chọn thư ký. - Sau khi đã chọn nhóm trưởng, còn lại 9 thành viên để chọn thư ký. - Vậy có 9 cách chọn thư ký. Bước 3: Chọn ủy viên. - Sau khi đã chọn nhóm trưởng và thư ký, còn lại 8 thành viên để chọn ủy viên. - Vậy có 8 cách chọn ủy viên. Theo quy tắc nhân, tổng số cách chọn một nhóm gồm một nhóm trưởng, một thư ký và một ủy viên từ 10 thành viên là: \[ 10 \times 9 \times 8 \] Ta nhận thấy rằng \( 10 \times 9 \times 8 \) chính là hoán vị chập 3 của 10, ký hiệu là \( A^3_{10} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~A^3_{10}. \] Câu 1: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến khai triển biểu thức \((2x-1)^5\), chúng ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Câu a: Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là -1. Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \((2x-1)^5\) là số hạng chứa \(x^0\). Theo công thức nhị thức Newton, số hạng tổng quát là: \[ C_5^k (2x)^{5-k} (-1)^k \] Để số hạng này không chứa \(x\), ta cần \(5-k = 0\), tức là \(k = 5\). Do đó, số hạng không chứa \(x\) là: \[ C_5^5 (2x)^{5-5} (-1)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-1) = -1 \] Câu b: Hệ số của \(x^3\) trong khai triển là 20. Hệ số của \(x^3\) trong khai triển \((2x-1)^5\) là số hạng chứa \(x^3\). Theo công thức nhị thức Newton, số hạng tổng quát là: \[ C_5^k (2x)^{5-k} (-1)^k \] Để số hạng này chứa \(x^3\), ta cần \(5-k = 3\), tức là \(k = 2\). Do đó, hệ số của \(x^3\) là: \[ C_5^2 (2x)^{5-2} (-1)^2 = 10 \cdot (2x)^3 \cdot 1 = 10 \cdot 8x^3 = 80x^3 \] Vậy hệ số của \(x^3\) là 80, không phải 20. Câu c: Tổng các hệ số trong khai triển bằng 32. Tổng các hệ số trong khai triển \((2x-1)^5\) được tính bằng cách thay \(x = 1\) vào biểu thức: \[ (2 \cdot 1 - 1)^5 = (2 - 1)^5 = 1^5 = 1 \] Vậy tổng các hệ số trong khai triển là 1, không phải 32. Câu d: Khai triển biểu thức ta được kết quả \((2x-1)^3 = C_5^3 (2x)^3 - C_5^4 (2x)^4 + C_5^2 (2x)^3 - C_5^3 (2x)^2 + C_5^4 (2x)^1 - C_5^5 (2x)^0\). Khai triển \((2x-1)^5\) theo công thức nhị thức Newton: \[ (2x-1)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k (2x)^{5-k} (-1)^k \] Cụ thể: \[ (2x-1)^5 = C_5^0 (2x)^5 (-1)^0 + C_5^1 (2x)^4 (-1)^1 + C_5^2 (2x)^3 (-1)^2 + C_5^3 (2x)^2 (-1)^3 + C_5^4 (2x)^1 (-1)^4 + C_5^5 (2x)^0 (-1)^5 \] \[ = 1 \cdot (2x)^5 \cdot 1 + 5 \cdot (2x)^4 \cdot (-1) + 10 \cdot (2x)^3 \cdot 1 + 10 \cdot (2x)^2 \cdot (-1) + 5 \cdot (2x)^1 \cdot 1 + 1 \cdot (2x)^0 \cdot (-1) \] \[ = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \] Vậy khai triển đúng là: \[ (2x-1)^5 = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \] Kết luận: - Câu a: Đúng - Câu b: Sai - Câu c: Sai - Câu d: Sai Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai. Câu 2: a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \[ R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = 9 - 1 = 8 \] b) Điểm trung bình môn Toán của 9 học sinh là: \[ \overline{x} = \frac{1 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 7 + 8 + 9}{9} = \frac{47}{9} \approx 5,23 \] c) Trung vị của mẫu số liệu là: \[ M_e = x_5 = 5 \] d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: \[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 \] Trong đó, \( Q_1 \) là giá trị ở vị trí thứ 3 trong dãy số liệu đã sắp xếp: \[ Q_1 = x_3 = 4 \] \( Q_3 \) là giá trị ở vị trí thứ 7 trong dãy số liệu đã sắp xếp: \[ Q_3 = x_7 = 7 \] Do đó: \[ \Delta_Q = 7 - 4 = 3 \] Câu 3: Tổng số viên bi trong bình là 10 + 6 = 16 viên bi. a) Số viên bi ghi số chẵn và màu trắng là 5 viên bi (các viên bi số 2, 4, 6, 8, 10). Vậy xác suất lấy được viên bi ghi số chẵn và màu trắng là $\frac{5}{16}$. Do đó, khẳng định này sai. b) Biến cố A là lấy được viên bi màu xanh và ghi số chẵn. Các viên bi màu xanh và ghi số chẵn là các viên bi số 12, 14, 16. Vậy n(A) = 3. Do đó, khẳng định này đúng. c) Số viên bi màu trắng là 10 viên bi. Vậy xác suất lấy được viên bi màu trắng là $\frac{10}{16} = 0,625$. Do đó, khẳng định này đúng. d) Số cách lấy viên bi trong hộp là 16 cách (vì có 16 viên bi). Do đó, khẳng định này sai. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tính khoảng cách từ điểm \( B(1;1) \) đến đường thẳng \((d')\). Đường thẳng \((d')\) có phương trình: \[ 3x + 2y - 1 = 0 \] Công thức tính khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0) \) đến đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \) là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Áp dụng công thức trên cho điểm \( B(1;1) \) và đường thẳng \((d')\): - \( A = 3 \), \( B = 2 \), \( C = -1 \) - \( x_0 = 1 \), \( y_0 = 1 \) Tính khoảng cách: \[ d = \frac{|3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|3 + 2 - 1|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{|4|}{\sqrt{13}} = \frac{4}{\sqrt{13}} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( B(1;1) \) đến đường thẳng \((d')\) là \(\frac{4}{\sqrt{13}}\). b) Tìm giao điểm của đường thẳng \((d)\) và \((d')\). Đường thẳng \((d)\) có phương trình tham số: \[ \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=-5+3t\end{array}\right. \] Để tìm giao điểm của \((d)\) và \((d')\), ta thay \( x = 1 + t \) và \( y = -5 + 3t \) vào phương trình của \((d')\): \[ 3(1 + t) + 2(-5 + 3t) - 1 = 0 \] Giải phương trình: \[ 3 + 3t - 10 + 6t - 1 = 0 \] \[ 9t - 8 = 0 \] \[ 9t = 8 \] \[ t = \frac{8}{9} \] Thay \( t = \frac{8}{9} \) vào phương trình tham số của \((d)\): - \( x = 1 + \frac{8}{9} = \frac{17}{9} \) - \( y = -5 + 3 \cdot \frac{8}{9} = -5 + \frac{24}{9} = -5 + \frac{8}{3} = -\frac{15}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{7}{3} \) Vậy giao điểm của \((d)\) và \((d')\) là \( \left(\frac{17}{9}, -\frac{7}{3}\right) \).