giúp minh voi

Câu 59: Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành và phép cộng vectơ. Cho ABCD là hình bình hành, ta có: - $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. Theo đề bài, $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BC}$. Ta cần tìm vị trí của điểm M. Bắt đầu từ điểm A, ta có: - $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BC}$. Do đó, ta có thể viết: - $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD}$ (vì $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ trong hình bình hành). Điều này có nghĩa là điểm M phải nằm trên đường thẳng kéo dài của đoạn AD và cách A một đoạn bằng độ dài của đoạn AD. Vì $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD}$, điều này chỉ ra rằng điểm M trùng với điểm D. Vậy, mệnh đề đúng là: A. M trùng D. Câu 60: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các vectơ trong hình bình hành \(ABCD\). 1. Tính chất của hình bình hành: - Trong hình bình hành, ta có \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) và \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). 2. Phân tích vectơ: - Theo đề bài, ta có \(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). - Do \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), ta thay vào phương trình trên: \[ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \] - Rút gọn phương trình, ta được: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{0} \] 3. Kết luận: - Vectơ \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{0}\) có nghĩa là điểm \(M\) trùng với điểm \(A\). Do đó, mệnh đề đúng là: B. M trùng A. Câu 61: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích biểu thức vectơ đã cho: \[ \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{ON} \] Ta sẽ phân tích từng vectơ trong biểu thức: 1. \(\overrightarrow{MN}\) là vectơ từ \(M\) đến \(N\). 2. \(\overrightarrow{PQ}\) là vectơ từ \(P\) đến \(Q\). 3. \(\overrightarrow{RN}\) là vectơ từ \(R\) đến \(N\). 4. \(\overrightarrow{NP}\) là vectơ từ \(N\) đến \(P\). 5. \(\overrightarrow{QR}\) là vectơ từ \(Q\) đến \(R\). 6. \(\overrightarrow{ON}\) là vectơ từ \(O\) đến \(N\). Ta có thể nhóm lại các vectơ như sau: \[ \overrightarrow{MN} + (\overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RN}) = \overrightarrow{ON} \] Nhận thấy rằng: - \(\overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{NQ}\) - \(\overrightarrow{NQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{NR}\) - \(\overrightarrow{NR} + \overrightarrow{RN} = \overrightarrow{NN} = \overrightarrow{0}\) Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{ON} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} \] Điều này có nghĩa là điểm \(M\) trùng với điểm \(O\). Vậy mệnh đề đúng là: C. M trùng O. Câu 62: Để giải bài toán này, ta cần phân tích và biến đổi phương trình vectơ đã cho: \[ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CM} - \overrightarrow{CA} \] Đầu tiên, ta biểu diễn các vectơ theo điểm M: - \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}\) - \(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{M}\) - \(\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}\) - \(\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}\) Thay các biểu thức này vào phương trình ban đầu: \[ (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{M}) = (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}) - (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}) \] Rút gọn phương trình: \[ \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{M} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} \] \[ \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{M} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} \] Chuyển các hạng tử liên quan đến \(\overrightarrow{M}\) về một vế: \[ \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} = 3\overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} \] Chuyển \(\overrightarrow{A}\) sang vế trái: \[ \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} = 3\overrightarrow{M} \] Chia cả hai vế cho 3: \[ \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] Điều này cho thấy M là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC\). Vậy mệnh đề đúng là: D. M là trọng tâm \(\Delta ABC\). Câu 63: Để giải bài toán này, ta cần phân tích phương trình vectơ đã cho: \[ \overrightarrow{MD} - \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} = \overrightarrow{O} \] Ta có thể biến đổi phương trình này như sau: 1. Chuyển vế: \[ \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MF} = \overrightarrow{ME} \] 2. Sử dụng tính chất của vectơ: \[ \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MF} = \overrightarrow{ME} \implies \overrightarrow{M} + \overrightarrow{D} + \overrightarrow{F} = \overrightarrow{M} + \overrightarrow{E} \] 3. Rút gọn: \[ \overrightarrow{D} + \overrightarrow{F} = \overrightarrow{E} \] 4. Suy ra: \[ \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{E} \] Từ đó, ta có thể thấy rằng: \[ \overrightarrow{EM} = \overrightarrow{DF} \] Do đó, mệnh đề đúng là: C. \(\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{DF}\) Vậy đáp án đúng là C. Câu 64: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích biểu thức vectơ đã cho và tìm ra mệnh đề đúng. Ta có: \[ \overrightarrow{MD} - \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} = \overrightarrow{O} \] Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MF} = \overrightarrow{ME} \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \(\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{EF}\) Ta có: \[ \overrightarrow{EM} = -\overrightarrow{ME} = -(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MF}) \] \[ \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{D} + \overrightarrow{E} - \overrightarrow{F} = 2\overrightarrow{E} - \overrightarrow{D} - \overrightarrow{F} \] Rõ ràng, \(\overrightarrow{EM} \neq \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{EF}\). Vậy mệnh đề A sai. B. \(\overrightarrow{FD} = \overrightarrow{EM}\) Ta có: \[ \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{D} \] \[ \overrightarrow{EM} = -\overrightarrow{ME} = -(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MF}) \] Rõ ràng, \(\overrightarrow{FD} \neq \overrightarrow{EM}\). Vậy mệnh đề B sai. C. \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MF} = \overrightarrow{EM}\) Từ điều kiện đã cho: \[ \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MF} = \overrightarrow{ME} \] Vậy mệnh đề C đúng. D. \(\overrightarrow{FM} = \overrightarrow{DE}\) Ta có: \[ \overrightarrow{FM} = -\overrightarrow{MF} \] \[ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{E} \] Rõ ràng, \(\overrightarrow{FM} \neq \overrightarrow{DE}\). Vậy mệnh đề D sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là mệnh đề C. Câu 65: Để giải bài toán này, ta cần phân tích và sử dụng các tính chất của vectơ. Cho $\Delta ABC$ với $O$ là trung điểm của $BC$. Ta cần tìm điểm $M$ sao cho: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \] Ta sẽ phân tích từng vectơ trong phương trình trên: 1. Biểu diễn $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$: - $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}$ - $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B}$ 2. Biểu diễn $\overrightarrow{MC}$: - $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}$ 3. Biểu diễn $\overrightarrow{AB}$: - $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$ Thay các biểu diễn này vào phương trình ban đầu: \[ (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}) + (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B} \] Rút gọn phương trình: \[ 2\overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B} \] \[ 2\overrightarrow{M} - 2\overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} + \overrightarrow{B} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B} \] Chuyển vế và rút gọn: \[ 2\overrightarrow{M} - \overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{B} + \overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \] Do $O$ là trung điểm của $BC$, ta có: \[ \overrightarrow{O} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \] Thay $\overrightarrow{O}$ vào phương trình: \[ \overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = 2\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{O} - 2\overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{A} + 2\left(\frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}\right) - 2\overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \] Như vậy, điểm $M$ trùng với điểm $A$. Do đó, mệnh đề đúng là: A. M trùng A. Câu 66: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần của phương trình vectơ đã cho và tìm ra vị trí của điểm \( M \). Phân tích phương trình vectơ Phương trình vectơ đã cho là: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} \] Chúng ta sẽ phân tích từng vectơ trong phương trình: 1. \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}\) 2. \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}\) 3. \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B}\) 4. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\) 5. \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}\) Thay các biểu thức này vào phương trình, ta có: \[ (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) - (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{B}) - (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \] Rút gọn phương trình: \[ \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{M} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{B} + \overrightarrow{A} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \] Gộp các vectơ lại: \[ 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{M} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \] Chuyển vế và rút gọn: \[ 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} = 2\overrightarrow{M} + \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{B} = 2\overrightarrow{M} \] Chia cả hai vế cho 2: \[ \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \] Kết luận Điểm \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng nối từ trung điểm của \( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} \), tức là \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng nối từ trung điểm của \( \overrightarrow{A} \) và \( \overrightarrow{C} \). Do đó, mệnh đề đúng là: C. M là trung điểm CA. Câu 67: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của hình bình hành và phép cộng vectơ. Bước 1: Xác định các vectơ trong hình bình hành Cho hình bình hành \( ACMB \), ta có các tính chất sau: - \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BM} \) - \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CM} \) Bước 2: Sử dụng tính chất của hình bình hành Từ tính chất của hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BM} \] Bước 3: Phân tích vectơ \(\overrightarrow{BM}\) Theo đề bài, ta cần chứng minh: \[ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BM} \] Ta có: - \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\) - \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BA}\) Thay vào phương trình cần chứng minh: \[ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BA}) \] \[ = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{AB} \] \[ = \overrightarrow{BM} \] Như vậy, ta đã chứng minh được rằng: \[ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BM} \] Kết luận: Vậy, trong hình bình hành \( ACMB \), ta có \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BM}\) là đúng. Câu 68: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề và sử dụng các tính chất của vectơ để kiểm tra tính đúng đắn của chúng. Bước 1: Phân tích điều kiện cho trước Điều kiện cho trước là: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} \] Chúng ta có thể biến đổi điều kiện này như sau: \[ \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} \] Biến đổi vế phải: \[ \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0} \] Vậy ta có: \[ \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0} \] Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BM} \] Từ đó, ta suy ra M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Bước 2: Kiểm tra từng mệnh đề - Mệnh đề A: \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CM}\) D là trung điểm của AB, nên \(\overrightarrow{BD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\). M là trung điểm của AB, nên \(\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\). Do đó, \(\overrightarrow{BD} \neq \overrightarrow{CM}\). - Mệnh đề B: \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{ED}\) E là trung điểm của BC, nên \(\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\). M là trung điểm của AB, nên \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\). Do đó, \(\overrightarrow{AM} \neq \overrightarrow{ED}\). - Mệnh đề C: M là trung điểm BC. Điều này không đúng vì M là trung điểm của AB, không phải BC. - Mệnh đề D: \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BD}\) \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\). Do đó, \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BD}\). Kết luận: Mệnh đề đúng là mệnh đề D: \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BD}\). Câu 69: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định vị trí của điểm M trong tứ giác ABCD dựa trên các điều kiện đã cho. Chúng ta sẽ xem xét từng điều kiện một cách chi tiết: 1. Điều kiện A: M là trung điểm của AB. Điều này có nghĩa là điểm M nằm trên đoạn thẳng AB và chia đoạn thẳng này thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, ta có: \[ AM = MB \] 2. Điều kiện B: M là trung điểm của BC. Tương tự như điều kiện A, điều này có nghĩa là điểm M nằm trên đoạn thẳng BC và chia đoạn thẳng này thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, ta có: \[ BM = MC \] 3. Điều kiện C: D là trung điểm của BM. Điều này có nghĩa là điểm D nằm trên đoạn thẳng BM và chia đoạn thẳng này thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, ta có: \[ BD = DM \] 4. Điều kiện D: M là trung điểm của DC. Điều này có nghĩa là điểm M nằm trên đoạn thẳng DC và chia đoạn thẳng này thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, ta có: \[ DM = MC \] Từ các điều kiện trên, ta có thể suy ra một số hệ quả: - Từ điều kiện A và B, ta có \(AM = MB = MC\). Điều này cho thấy rằng M là điểm chung của hai đoạn thẳng AB và BC, và M chia cả hai đoạn thẳng này thành các đoạn bằng nhau. - Từ điều kiện C và D, ta có \(BD = DM = MC\). Điều này cho thấy rằng D cũng là một điểm đặc biệt trên đoạn thẳng BM, và M chia đoạn thẳng DC thành hai đoạn bằng nhau. Từ các điều kiện và hệ quả trên, ta có thể kết luận rằng điểm M là một điểm đặc biệt trong tứ giác ABCD, có vai trò là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, và DC. Điều này cho thấy rằng tứ giác ABCD có một cấu trúc đối xứng đặc biệt, với M là trung điểm của các đoạn thẳng liên quan. Tuy nhiên, để có một hình ảnh rõ ràng hơn về tứ giác này, chúng ta cần thêm thông tin về vị trí của các điểm A, B, C, và D. Nhưng với các điều kiện đã cho, chúng ta đã xác định được vai trò của điểm M trong tứ giác ABCD.