giải và vẽ hình

Bài 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật Để chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng nó có bốn góc vuông. 1. Góc vuông tại D và E: - Theo giả thiết, MD vuông góc với AB tại D, do đó $\angle MDA = 90^\circ$. - Tương tự, ME vuông góc với AC tại E, do đó $\angle MEA = 90^\circ$. 2. Góc vuông tại A: - Vì $\Delta ABC$ vuông tại A, nên $\angle BAC = 90^\circ$. 3. Góc vuông tại M: - Trong tứ giác ADME, nếu ba góc đã là góc vuông thì góc còn lại cũng phải là góc vuông để tổng bốn góc bằng $360^\circ$. Vậy, tứ giác ADME có bốn góc vuông, do đó ADME là hình chữ nhật. b) Tứ giác ABIK là hình gì? Vì sao? 1. Xác định vị trí của I và K: - Trên tia đối của tia HA, lấy điểm I sao cho $HI = HA$. Điều này có nghĩa là I là điểm đối xứng của H qua A. - Trên tia đối của tia HB, lấy điểm K sao cho $HK = HB$. Điều này có nghĩa là K là điểm đối xứng của H qua B. 2. Chứng minh ABIK là hình bình hành: - Do $HI = HA$ và $HK = HB$, ta có $AI = AH$ và $BK = BH$. - Vì $AH = BH$ (do H là chân đường cao từ A xuống BC), nên $AI = BK$. - Hai đường chéo $AI$ và $BK$ cắt nhau tại H và có độ dài bằng nhau, do đó tứ giác ABIK là hình bình hành. c) Chứng minh AK vuông góc IC 1. Xét tam giác AHC và BHC: - Vì $AH$ là đường cao của $\Delta ABC$, nên $AH \perp BC$. - Từ b), ta có $AI = BK$ và $ABIK$ là hình bình hành, do đó $AK \parallel BI$. 2. Chứng minh AK vuông góc IC: - Vì $AK \parallel BI$ và $AH \perp BC$, nên $AK \perp IC$ (do $IC$ là đường nối từ I đến C, và $BI$ là đường nối từ B đến I). Vậy, ta đã chứng minh được rằng $AK \perp IC$. Bài 5: Để giải bài toán này, ta sẽ tính diện tích của từng khu đất và mảnh vườn hình chữ nhật theo các bước sau: a/ Tính diện tích khu đất dùng để trồng hoa theo \(x, y\): Khu đất trồng hoa có chiều dài là \(2x\) và chiều rộng là \(y + 1\). Diện tích khu đất trồng hoa là: \[ S_{\text{hoa}} = 2x \times (y + 1) = 2x(y + 1) \] b/ Tính diện tích khu đất dùng để trồng cỏ theo \(x, y\): Khu đất trồng cỏ có chiều dài là \(2y + 12\) và chiều rộng là \(y + 1\). Diện tích khu đất trồng cỏ là: \[ S_{\text{cỏ}} = (2y + 12) \times (y + 1) = (2y + 12)(y + 1) \] c/ Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật của bác Nam với \(x = 4\) và \(y = 4\): Thay \(x = 4\) và \(y = 4\) vào các công thức trên: - Diện tích khu đất trồng hoa: \[ S_{\text{hoa}} = 2 \times 4 \times (4 + 1) = 8 \times 5 = 40 \, \text{m}^2 \] - Diện tích khu đất trồng cỏ: \[ S_{\text{cỏ}} = (2 \times 4 + 12) \times (4 + 1) = (8 + 12) \times 5 = 20 \times 5 = 100 \, \text{m}^2 \] - Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật: \[ S_{\text{vườn}} = S_{\text{hoa}} + S_{\text{cỏ}} = 40 + 100 = 140 \, \text{m}^2 \] Vậy diện tích mảnh vườn hình chữ nhật của bác Nam là \(140 \, \text{m}^2\). Bài 1: 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) \(4x + 6y\) Ta thấy cả hai hạng tử đều có 2 làm thừa số chung. \(4x + 6y = 2(2x + 3y)\) b) \(x^2 - xy - 3x + 3y\) Nhóm các hạng tử để dễ dàng phân tích: \(x^2 - xy - 3x + 3y = (x^2 - xy) - (3x - 3y)\) Cả hai nhóm đều có \(x\) và \(-3\) làm thừa số chung: \(= x(x - y) - 3(x - y)\) Tiếp tục phân tích: \(= (x - y)(x - 3)\) c) \(x^2 - 2xy - 9z^2 + y^2\) Nhận thấy \(x^2 - 2xy + y^2\) là một hằng đẳng thức đáng nhớ (bình phương của một hiệu): \(x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2\) Do đó: \(x^2 - 2xy - 9z^2 + y^2 = (x - y)^2 - 9z^2\) Biểu thức trên là hiệu của hai bình phương: \((x - y)^2 - 9z^2 = (x - y - 3z)(x - y + 3z)\) 2) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến \[A = (x - 5)(x + 5) - x(x - 3) - 3x\] Phân tích từng phần: \[(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25\] \[x(x - 3) = x^2 - 3x\] Thay vào biểu thức \(A\): \[A = (x^2 - 25) - (x^2 - 3x) - 3x\] \[A = x^2 - 25 - x^2 + 3x - 3x\] \[A = -25\] Giá trị của \(A\) là \(-25\), không phụ thuộc vào giá trị của \(x\). 3) Rút gọn và tính nhanh giá trị của biểu thức \[B = (x - y)^2 + y(2x - 2y)\] Phân tích từng phần: \[(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\] \[y(2x - 2y) = 2xy - 2y^2\] Thay vào biểu thức \(B\): \[B = (x^2 - 2xy + y^2) + (2xy - 2y^2)\] \[B = x^2 - 2xy + y^2 + 2xy - 2y^2\] \[B = x^2 - y^2\] Tại \(x = 99\) và \(y = 1\): \[B = 99^2 - 1^2\] \[B = 9801 - 1\] \[B = 9800\] Bài 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích các yếu tố hình học liên quan đến tam giác nhọn \( \triangle ABC \) với \( AB < AC \) và các đường cao \( BE \) và \( CF \). 1. Xác định các yếu tố cơ bản: - Tam giác \( \triangle ABC \) là tam giác nhọn, nghĩa là tất cả các góc của tam giác đều nhỏ hơn \( 90^\circ \). - \( AB < AC \) cho biết cạnh \( AB \) ngắn hơn cạnh \( AC \). 2. Đường cao và trực tâm: - Đường cao \( BE \) là đường thẳng vuông góc với cạnh \( AC \) tại điểm \( E \). - Đường cao \( CF \) là đường thẳng vuông góc với cạnh \( AB \) tại điểm \( F \). - Hai đường cao \( BE \) và \( CF \) cắt nhau tại điểm \( H \), điểm này được gọi là trực tâm của tam giác \( \triangle ABC \). 3. Tính chất của trực tâm: - Trực tâm \( H \) là điểm giao của ba đường cao trong tam giác. Trong tam giác nhọn, trực tâm nằm bên trong tam giác. - Ngoài hai đường cao đã cho, đường cao thứ ba \( AD \) (vuông góc với \( BC \) tại \( D \)) cũng đi qua trực tâm \( H \). 4. Lập luận về vị trí của các điểm: - Do \( AB < AC \), nên góc \( \angle ACB \) lớn hơn góc \( \angle ABC \). Điều này có thể ảnh hưởng đến vị trí của các điểm \( E \) và \( F \) trên các cạnh \( AC \) và \( AB \) tương ứng. - Vì \( H \) là trực tâm, nên các đoạn thẳng \( AH \), \( BH \), và \( CH \) đều là các đường cao của tam giác \( \triangle ABC \). 5. Kết luận: - Trong tam giác nhọn \( \triangle ABC \), trực tâm \( H \) nằm bên trong tam giác. - Các đường cao \( BE \), \( CF \), và \( AD \) đều cắt nhau tại trực tâm \( H \). Bằng cách phân tích các yếu tố hình học và tính chất của trực tâm, chúng ta có thể hiểu rõ hơn về cấu trúc và vị trí của các điểm trong tam giác nhọn \( \triangle ABC \).