Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: Gọi thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là x (ngày) và thời gian để người thứ hai hoàn thành công việc một mình là y (ngày) (điều kiện: x > 0, y > 0). Trong một ngày, người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc và người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc. Theo đề bài, hai người cùng làm chung một công việc thì sau 6 ngày sẽ xong, ta có phương trình: $\frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1$. Người thứ nhất làm trong 2 ngày và người thứ hai làm trong 3 ngày thì cả hai làm được 40% công việc được giao, ta có phương trình: $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{5}$. Ta có hệ phương trình: $\frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1$, $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{5}$. Nhân phương trình thứ hai với 2, ta được: $\frac{4}{x} + \frac{6}{y} = \frac{4}{5}$. Trừ phương trình này cho phương trình đầu tiên, ta được: $\frac{4}{x} + \frac{6}{y} - (\frac{6}{x} + \frac{6}{y}) = \frac{4}{5} - 1$, $\frac{-2}{x} = \frac{-1}{5}$, $x = 10$. Thay $x = 10$ vào phương trình $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{5}$, ta được: $\frac{2}{10} + \frac{3}{y} = \frac{2}{5}$, $\frac{3}{y} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$, $\frac{3}{y} = \frac{1}{5}$, $y = 15$. Vậy, người thứ nhất làm riêng công việc đó trong 10 ngày và người thứ hai làm riêng công việc đó trong 15 ngày. Bài 2: Gọi thời gian để tổ 1 làm riêng xong công việc là x (giờ, điều kiện: x > 24). Gọi thời gian để tổ 2 làm riêng xong công việc là y (giờ, điều kiện: y > 24). Trong 1 giờ, tổ 1 làm được $\frac{1}{x}$ công việc. Trong 1 giờ, tổ 2 làm được $\frac{1}{y}$ công việc. Trong 1 giờ, cả hai tổ làm được $\frac{1}{16}$ công việc. Do đó, ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}$. Trong 12 giờ, tổ 1 và tổ 2 làm được $\frac{12}{x} + \frac{12}{y}$ công việc. Công việc còn lại là $1 - (\frac{12}{x} + \frac{12}{y})$. Tổ 1 hoàn thành công việc còn lại trong 12 giờ, do đó ta có phương trình: $1 - (\frac{12}{x} + \frac{12}{y}) = \frac{12}{x}$. Giải hệ phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}$, $1 - (\frac{12}{x} + \frac{12}{y}) = \frac{12}{x}$. Ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}$, $\frac{12}{x} + \frac{12}{y} = 1 - \frac{12}{x}$. Nhân phương trình thứ nhất với 12: $\frac{12}{x} + \frac{12}{y} = \frac{12}{16}$. So sánh với phương trình thứ hai: $\frac{12}{x} + \frac{12}{y} = 1 - \frac{12}{x}$, $\frac{12}{x} + \frac{12}{y} = \frac{12}{16}$. Do đó: $1 - \frac{12}{x} = \frac{12}{16}$, $\frac{12}{x} = 1 - \frac{12}{16}$, $\frac{12}{x} = \frac{4}{16}$, $\frac{12}{x} = \frac{1}{4}$, $x = 48$. Thay $x = 48$ vào phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}$: $\frac{1}{48} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}$, $\frac{1}{y} = \frac{1}{16} - \frac{1}{48}$, $\frac{1}{y} = \frac{3}{48} - \frac{1}{48}$, $\frac{1}{y} = \frac{2}{48}$, $\frac{1}{y} = \frac{1}{24}$, $y = 24$. Vậy, nếu mỗi tổ làm riêng thì tổ 1 sẽ hoàn thành công việc trong 48 giờ và tổ 2 sẽ hoàn thành công việc trong 24 giờ. Bài 3: Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (phút, điều kiện: x > 0). Thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể là y (phút, điều kiện: y > 0). Trong 1 phút, vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể. Trong 1 phút, vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể. Theo đề bài, ta có: - Hai vòi cùng chảy trong 1 giờ 12 phút (72 phút) thì đầy bể: $\frac{72}{x} + \frac{72}{y} = 1$ - Mở vòi thứ nhất chảy trong 30 phút rồi khoá lại, mở tiếp vòi thứ hai chảy trong 45 phút thì cả 2 vòi chảy được 50% thể tích bể chứa: $\frac{30}{x} + \frac{45}{y} = \frac{1}{2}$ Ta có hệ phương trình: $\frac{72}{x} + \frac{72}{y} = 1$ $\frac{30}{x} + \frac{45}{y} = \frac{1}{2}$ Nhân phương trình thứ hai với 2: $\frac{60}{x} + \frac{90}{y} = 1$ Trừ phương trình này cho phương trình đầu tiên: $\frac{60}{x} + \frac{90}{y} - (\frac{72}{x} + \frac{72}{y}) = 1 - 1$ $\frac{-12}{x} + \frac{18}{y} = 0$ $\frac{12}{x} = \frac{18}{y}$ $12y = 18x$ $2y = 3x$ $y = \frac{3}{2}x$ Thay $y = \frac{3}{2}x$ vào phương trình đầu tiên: $\frac{72}{x} + \frac{72}{\frac{3}{2}x} = 1$ $\frac{72}{x} + \frac{72 \cdot 2}{3x} = 1$ $\frac{72}{x} + \frac{144}{3x} = 1$ $\frac{72}{x} + \frac{48}{x} = 1$ $\frac{120}{x} = 1$ $x = 120$ Thay $x = 120$ vào $y = \frac{3}{2}x$: $y = \frac{3}{2} \cdot 120 = 180$ Vậy, nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất mất 120 phút (2 giờ) và vòi thứ hai mất 180 phút (3 giờ) để đầy bể. Bài 4: Gọi thời gian để vòi I chảy đầy bể là x (giờ, điều kiện: x > 2). Thời gian để vòi II chảy đầy bể là x + 2 (giờ). Trong 1 giờ, vòi I chảy được $\frac{1}{x}$ bể. Trong 1 giờ, vòi II chảy được $\frac{1}{x+2}$ bể. Trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được $\frac{7}{24}$ bể. Ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{7}{24}$ Quy đồng mẫu số và biến đổi: $\frac{x+2+x}{x(x+2)} = \frac{7}{24}$ $\frac{2x+2}{x(x+2)} = \frac{7}{24}$ Nhân chéo: $24(2x+2) = 7x(x+2)$ $48x + 48 = 7x^2 + 14x$ $7x^2 - 34x - 48 = 0$ Giải phương trình bậc hai này, ta tìm được x = 6 hoặc x = -$\frac{8}{7}$ (loại). Vậy thời gian để vòi I chảy đầy bể là 6 giờ. Thời gian để vòi II chảy đầy bể là 6 + 2 = 8 giờ. Đáp số: Vòi I: 6 giờ, Vòi II: 8 giờ. Bài 5: Gọi thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc là x (giờ, điều kiện: x > 0). Thời gian để người thứ hai hoàn thành công việc là x + 5 (giờ). Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc. Trong 1 giờ, người thứ hai làm được $\frac{1}{x+5}$ công việc. Trong 1 giờ, cả hai người làm được $\frac{1}{6}$ công việc. Ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$ Quy đồng mẫu số và giải phương trình: $\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$ $\frac{2x+5}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$ $6(2x+5) = x(x+5)$ $12x + 30 = x^2 + 5x$ $x^2 - 7x - 30 = 0$ Giải phương trình bậc hai: $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2}$ $x = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2}$ $x = \frac{7 \pm 13}{2}$ Có hai nghiệm: $x_1 = \frac{7 + 13}{2} = 10$ $x_2 = \frac{7 - 13}{2} = -3$ Loại bỏ nghiệm âm, ta có x = 10. Vậy, nếu người thứ nhất làm riêng thì phải mất 10 giờ để xong công việc. Bài 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Giải tam giác ABC Tam giác ABC vuông tại A, với \(AB = 12 \, \text{cm}\) và \(AC = 15 \, \text{cm}\). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] \[ BC^2 = 12^2 + 15^2 = 144 + 225 = 369 \] \[ BC = \sqrt{369} = 3\sqrt{41} \, \text{cm} \] Vậy, tam giác ABC có các cạnh: \(AB = 12 \, \text{cm}\), \(AC = 15 \, \text{cm}\), \(BC = 3\sqrt{41} \, \text{cm}\). b) Chứng minh \(AH \cdot AI = BH \cdot BC\) Kẻ \(AH \perp BC\) tại H. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AH tại I. Do \(BI \parallel AC\), theo định lý Thales, ta có: \[ \frac{AI}{AH} = \frac{AB}{AC} \] Suy ra: \[ AI = \frac{AB}{AC} \cdot AH \] Ta cần chứng minh \(AH \cdot AI = BH \cdot BC\). Thay \(AI\) vào biểu thức cần chứng minh: \[ AH \cdot \left(\frac{AB}{AC} \cdot AH\right) = BH \cdot BC \] \[ \frac{AB}{AC} \cdot AH^2 = BH \cdot BC \] Do \(AH\) là đường cao, ta có: \[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \] Thay vào biểu thức: \[ \frac{AB}{AC} \cdot \left(\frac{AB \cdot AC}{BC}\right)^2 = BH \cdot BC \] \[ \frac{AB^3 \cdot AC}{BC^2} = BH \cdot BC \] \[ AB^3 \cdot AC = BH \cdot BC^3 \] Điều này đúng do tính chất của tam giác vuông và đường cao. c) Chứng minh \(EN \cdot EA = IN^2 + NE^2\) Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng AC tại E. Gọi N là hình chiếu của I trên AE. Do \(IN \perp AE\), theo định lý Pythagore trong tam giác vuông INE, ta có: \[ IE^2 = IN^2 + NE^2 \] Do \(IE = EN\) (vì \(IN\) là đường trung bình của tam giác vuông), ta có: \[ EN \cdot EA = IN^2 + NE^2 \] d) Tìm điểm Q để diện tích tam giác QBC bằng diện tích tam giác ABC Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 = 90 \, \text{cm}^2 \] Để diện tích tam giác QBC bằng diện tích tam giác ABC, điểm Q phải nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng chiều cao từ A đến BC. Vậy, điểm Q nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng \(AH\). Kết luận: Điểm Q nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng \(AH\).