Tìm số tự nhiên n để $T=5^{2n^2-6n+2}-12$ là số nguyên tố.

Ta có: \[T=5^{2n^2-6n+2}-12=5^{(n-1)^2+n^2}-12.\] Do đó, nếu \(n\) là số chẵng thì \(T\) là số chẵng lớn hơn 2 nên không là số nguyên tố. Vậy \(n\) phải là số lẻ. Giả sử \(n=2k+1\) (\(k \in \mathbb{N}\)). Ta có: \[T=5^{(2k+1)^2-6(2k+1)+2}-12=5^{4k^2-8k+1}-12=5^{(2k-2)^2-3}-12.\] Nếu \(k>1\) thì \(T\) có tận cùng là 3 nên không là số nguyên tố. Vậy \(k=1\) hoặc \(k=0\). - Với \(k=1\) ta có \(n=3\) và \(T=5^{9}-12=1949\) là số nguyên tố. - Với \(k=0\) ta có \(n=1\) và \(T=5^{-1}-12\) không là số nguyên tố. Vậy \(n=3\) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.