Chứng minh $n^5+5n^3-6n$ chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.

Ta sẽ chứng minh biểu thức \( n^5 + 5n^3 - 6n \) chia hết cho 30 với mọi số nguyên \( n \). Bước 1: Chứng minh biểu thức chia hết cho 2: - Nếu \( n \) là số chẵn, thì \( n \) chia hết cho 2, do đó \( n^5 + 5n^3 - 6n \) cũng chia hết cho 2. - Nếu \( n \) là số lẻ, thì \( n^5 \), \( 5n^3 \), và \( 6n \) đều là số lẻ, tổng của ba số lẻ là số lẻ, nhưng \( 6n \) là số chẵn, nên tổng \( n^5 + 5n^3 - 6n \) là số chẵn, do đó chia hết cho 2. Bước 2: Chứng minh biểu thức chia hết cho 3: - Ta xét các trường hợp \( n \equiv 0, 1, 2 \pmod{3} \): - Nếu \( n \equiv 0 \pmod{3} \), thì \( n \) chia hết cho 3, do đó \( n^5 + 5n^3 - 6n \) cũng chia hết cho 3. - Nếu \( n \equiv 1 \pmod{3} \), thì \( n^5 \equiv 1 \pmod{3} \), \( 5n^3 \equiv 5 \pmod{3} \), và \( 6n \equiv 0 \pmod{3} \). Tổng \( 1 + 5 - 0 = 6 \equiv 0 \pmod{3} \), do đó chia hết cho 3. - Nếu \( n \equiv 2 \pmod{3} \), thì \( n^5 \equiv 2 \pmod{3} \), \( 5n^3 \equiv 10 \equiv 1 \pmod{3} \), và \( 6n \equiv 0 \pmod{3} \). Tổng \( 2 + 1 - 0 = 3 \equiv 0 \pmod{3} \), do đó chia hết cho 3. Bước 3: Chứng minh biểu thức chia hết cho 5: - Ta xét các trường hợp \( n \equiv 0, 1, 2, 3, 4 \pmod{5} \): - Nếu \( n \equiv 0 \pmod{5} \), thì \( n \) chia hết cho 5, do đó \( n^5 + 5n^3 - 6n \) cũng chia hết cho 5. - Nếu \( n \equiv 1 \pmod{5} \), thì \( n^5 \equiv 1 \pmod{5} \), \( 5n^3 \equiv 0 \pmod{5} \), và \( 6n \equiv 6 \pmod{5} \). Tổng \( 1 + 0 - 6 = -5 \equiv 0 \pmod{5} \), do đó chia hết cho 5. - Nếu \( n \equiv 2 \pmod{5} \), thì \( n^5 \equiv 2 \pmod{5} \), \( 5n^3 \equiv 0 \pmod{5} \), và \( 6n \equiv 12 \equiv 2 \pmod{5} \). Tổng \( 2 + 0 - 2 = 0 \pmod{5} \), do đó chia hết cho 5. - Nếu \( n \equiv 3 \pmod{5} \), thì \( n^5 \equiv 3 \pmod{5} \), \( 5n^3 \equiv 0 \pmod{5} \), và \( 6n \equiv 18 \equiv 3 \pmod{5} \). Tổng \( 3 + 0 - 3 = 0 \pmod{5} \), do đó chia hết cho 5. - Nếu \( n \equiv 4 \pmod{5} \), thì \( n^5 \equiv 4 \pmod{5} \), \( 5n^3 \equiv 0 \pmod{5} \), và \( 6n \equiv 24 \equiv 4 \pmod{5} \). Tổng \( 4 + 0 - 4 = 0 \pmod{5} \), do đó chia hết cho 5. Vì biểu thức \( n^5 + 5n^3 - 6n \) chia hết cho 2, 3 và 5, nên nó chia hết cho 30 với mọi số nguyên \( n \).