Giải phương trình:$\sqrt{2x-\frac{3}{x}}+\sqrt{\frac{6}{x}-2x}=1+\frac{3}{2x}$

Điều kiện xác định: \( 2x - \frac{3}{x} \geq 0 \) và \( \frac{6}{x} - 2x \geq 0 \). Ta có: \[ 2x - \frac{3}{x} \geq 0 \] \[ \frac{2x^2 - 3}{x} \geq 0 \] Do đó: \[ 2x^2 - 3 \geq 0 \quad \text{và} \quad x > 0 \] \[ x^2 \geq \frac{3}{2} \] \[ x \geq \sqrt{\frac{3}{2}} \] Tương tự: \[ \frac{6}{x} - 2x \geq 0 \] \[ \frac{6 - 2x^2}{x} \geq 0 \] Do đó: \[ 6 - 2x^2 \geq 0 \quad \text{và} \quad x > 0 \] \[ 2x^2 \leq 6 \] \[ x^2 \leq 3 \] \[ x \leq \sqrt{3} \] Kết hợp các điều kiện trên, ta có: \[ \sqrt{\frac{3}{2}} \leq x \leq \sqrt{3} \] Bây giờ, ta sẽ thử các giá trị trong khoảng này để tìm nghiệm của phương trình. Thử \( x = 1 \): \[ \sqrt{2(1) - \frac{3}{1}} + \sqrt{\frac{6}{1} - 2(1)} = 1 + \frac{3}{2(1)} \] \[ \sqrt{2 - 3} + \sqrt{6 - 2} = 1 + \frac{3}{2} \] \[ \sqrt{-1} + \sqrt{4} = 1 + \frac{3}{2} \] \[ \text{Không thỏa mãn vì } \sqrt{-1} \text{ không tồn tại.} \] Thử \( x = \sqrt{\frac{3}{2}} \): \[ \sqrt{2\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right) - \frac{3}{\sqrt{\frac{3}{2}}}} + \sqrt{\frac{6}{\sqrt{\frac{3}{2}}} - 2\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)} = 1 + \frac{3}{2\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)} \] \[ \sqrt{2\sqrt{\frac{3}{2}} - \frac{3}{\sqrt{\frac{3}{2}}}} + \sqrt{\frac{6}{\sqrt{\frac{3}{2}}} - 2\sqrt{\frac{3}{2}}} = 1 + \frac{3}{2\sqrt{\frac{3}{2}}} \] \[ \sqrt{2\sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2}} + \sqrt{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{\frac{3}{2}}} = 1 + \frac{3}{2\sqrt{\frac{3}{2}}} \] \[ \sqrt{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2}} + \sqrt{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{\frac{3}{2}}} = 1 + \frac{3}{2\sqrt{\frac{3}{2}}} \] \[ \sqrt{0} + \sqrt{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{\frac{3}{2}}} = 1 + \frac{3}{2\sqrt{\frac{3}{2}}} \] \[ 0 + \sqrt{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{\frac{3}{2}}} = 1 + \frac{3}{2\sqrt{\frac{3}{2}}} \] \[ \sqrt{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{\frac{3}{2}}} = 1 + \frac{3}{2\sqrt{\frac{3}{2}}} \] \[ \sqrt{\sqrt{3} - 2\sqrt{\frac{3}{2}}} = 1 + \frac{3}{2\sqrt{\frac{3}{2}}} \] Thử \( x = \sqrt{3} \): \[ \sqrt{2\left(\sqrt{3}\right) - \frac{3}{\sqrt{3}}} + \sqrt{\frac{6}{\sqrt{3}} - 2\left(\sqrt{3}\right)} = 1 + \frac{3}{2\left(\sqrt{3}\right)} \] \[ \sqrt{2\sqrt{3} - \sqrt{3}} + \sqrt{2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}} = 1 + \frac{3}{2\sqrt{3}} \] \[ \sqrt{\sqrt{3}} + \sqrt{0} = 1 + \frac{3}{2\sqrt{3}} \] \[ \sqrt{\sqrt{3}} + 0 = 1 + \frac{3}{2\sqrt{3}} \] \[ \sqrt{\sqrt{3}} = 1 + \frac{3}{2\sqrt{3}} \] Kết luận: Phương trình không có nghiệm trong khoảng \( \sqrt{\frac{3}{2}} \leq x \leq \sqrt{3} \).