Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $0\le a\le4;0\le b\le4;0\le c\le4;a+b+c=6.$ Tìm GTLN của biểu thức P = $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$.

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức \( P = a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca \) với các điều kiện \( 0 \le a \le 4 \), \( 0 \le b \le 4 \), \( 0 \le c \le 4 \) và \( a + b + c = 6 \), chúng ta sẽ tiến hành như sau: 1. Biến đổi biểu thức \( P \): Ta có: \[ P = a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca \] Ta biết rằng: \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] Từ đây suy ra: \[ a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) \] Thay vào \( P \): \[ P = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) + ab + bc + ca \] \[ P = (a + b + c)^2 - (ab + bc + ca) \] 2. Thay giá trị \( a + b + c = 6 \): \[ P = 6^2 - (ab + bc + ca) \] \[ P = 36 - (ab + bc + ca) \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( ab + bc + ca \): Để \( P \) đạt giá trị lớn nhất, \( ab + bc + ca \) phải đạt giá trị nhỏ nhất. 4. Phân tích các trường hợp: - Nếu \( a = 4 \), \( b = 4 \), \( c = -2 \) (không thỏa mãn điều kiện \( 0 \le c \le 4 \)). - Nếu \( a = 4 \), \( b = 2 \), \( c = 0 \): \[ ab + bc + ca = 4 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 8 \] - Nếu \( a = 3 \), \( b = 3 \), \( c = 0 \): \[ ab + bc + ca = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 3 = 9 \] - Nếu \( a = 2 \), \( b = 2 \), \( c = 2 \): \[ ab + bc + ca = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 12 \] 5. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( ab + bc + ca \) là 8 (khi \( a = 4 \), \( b = 2 \), \( c = 0 \)). Do đó, giá trị lớn nhất của \( P \) là: \[ P = 36 - 8 = 28 \] Giá trị lớn nhất của \( P \) là 28, đạt được khi \( a = 4 \), \( b = 2 \), \( c = 0 \).