Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $0\le a\le4;0\le b\le4;0\le c\le4;a+b+c=6.$ Tìm GTLN của biểu thức P = $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$.

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức $ P = a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca $ với các điều kiện $ 0 \le a \le 4 $, $ 0 \le b \le 4 $, $ 0 \le c \le 4 $ và $ a + b + c = 6 $, chúng ta sẽ tiến hành như sau:

1. Biến đổi biểu thức $ P $:
   Ta có:
   $$
   P = a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca
   $$
   Ta biết rằng:
   $$
   (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
   $$
   Từ đây suy ra:
   $$
   a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)
   $$
   Thay vào $ P $:
   $$
   P = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) + ab + bc + ca
   $$
   $$
   P = (a + b + c)^2 - (ab + bc + ca)
   $$

2. Thay giá trị $ a + b + c = 6 $:
   $$
   P = 6^2 - (ab + bc + ca)
   $$
   $$
   P = 36 - (ab + bc + ca)
   $$

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ ab + bc + ca $:
   Để $ P $ đạt giá trị lớn nhất, $ ab + bc + ca $ phải đạt giá trị nhỏ nhất.

4. Phân tích các trường hợp:
   - Nếu $ a = 4 $, $ b = 4 $, $ c = -2 $ (không thỏa mãn điều kiện $ 0 \le c \le 4 $).
   - Nếu $ a = 4 $, $ b = 2 $, $ c = 0 $:
     $$
     ab + bc + ca = 4 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 8
     $$
   - Nếu $ a = 3 $, $ b = 3 $, $ c = 0 $:
     $$
     ab + bc + ca = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 3 = 9
     $$
   - Nếu $ a = 2 $, $ b = 2 $, $ c = 2 $:
     $$
     ab + bc + ca = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 12
     $$

5. Kết luận:
   Giá trị nhỏ nhất của $ ab + bc + ca $ là 8 (khi $ a = 4 $, $ b = 2 $, $ c = 0 $).

Do đó, giá trị lớn nhất của $ P $ là:
   $$
   P = 36 - 8 = 28
   $$

Giá trị lớn nhất của $ P $ là 28, đạt được khi $ a = 4 $, $ b = 2 $, $ c = 0 $.