Giúp mình với!

Câu 3: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích bảng xét dấu của đạo hàm \( y' \) của hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + 2 \). 1. Xét dấu của \( y' \): Bảng xét dấu cho thấy: - \( y' > 0 \) khi \( x < x_1 \) và \( x > 0 \). - \( y' = 0 \) tại \( x = x_1, x_2, 0 \). - \( y' < 0 \) khi \( x_1 < x < x_2 \). 2. Tìm \( y' \): Đạo hàm của hàm số là: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] 3. Phân tích bảng xét dấu: - \( y' = 0 \) có ba nghiệm \( x = x_1, x_2, 0 \). Điều này cho thấy phương trình \( 3ax^2 + 2bx + c = 0 \) có ba nghiệm, trong đó có một nghiệm là \( x = 0 \). 4. Xét nghiệm \( x = 0 \): Thay \( x = 0 \) vào phương trình \( 3ax^2 + 2bx + c = 0 \), ta có: \[ c = 0 \] 5. Xét dấu của \( a \): - Vì \( y' > 0 \) khi \( x > 0 \), hệ số của \( x^2 \) trong \( y' \) phải dương khi \( x \to +\infty \). Do đó, \( a > 0 \). 6. Xét dấu của \( b \): - Từ bảng xét dấu, \( y' \) chuyển từ dương sang âm tại \( x_1 \) và từ âm sang dương tại \( x_2 \). Điều này cho thấy đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị, và do đó phương trình \( 3ax^2 + 2bx = 0 \) có hai nghiệm phân biệt khác 0. Điều này chỉ xảy ra khi \( b \neq 0 \). 7. Kết luận: - \( a > 0 \) - \( c = 0 \) - \( b \) có thể dương hoặc âm, nhưng không thể xác định chính xác từ thông tin đã cho. Vậy, có một số dương trong các số \( a, b, c \). Câu 4: Để xác định khi nào chất điểm chuyển động sang trái, ta cần tìm khi nào vận tốc của chất điểm âm. Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của hàm vị trí \( s(t) \). 1. Tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 9t^2 + 15t) = 3t^2 - 18t + 15 \] 2. Tìm khi nào \( v(t) < 0 \): Giải bất phương trình: \[ 3t^2 - 18t + 15 < 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ t^2 - 6t + 5 < 0 \] 3. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai: \[ t^2 - 6t + 5 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \] \[ t_1 = 5, \quad t_2 = 1 \] 4. Xét dấu của tam thức: Tam thức \( t^2 - 6t + 5 \) đổi dấu tại \( t = 1 \) và \( t = 5 \). Ta xét dấu trên các khoảng: - \( t < 1 \): \( (t-1)(t-5) > 0 \) (dương) - \( 1 < t < 5 \): \( (t-1)(t-5) < 0 \) (âm) - \( t > 5 \): \( (t-1)(t-5) > 0 \) (dương) Vậy, \( v(t) < 0 \) khi \( 1 < t < 5 \). 5. Tìm các giá trị \( t \) nguyên: Các giá trị \( t \) nguyên thỏa mãn \( 1 < t < 5 \) là \( t = 2, 3, 4 \). Vậy, có 3 giá trị \( t \) nguyên để chất điểm chuyển động sang trái. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho diện tích mặt cắt \( S \) là lớn nhất. Giả sử mặt cắt có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là \( 2x \) và chiều cao là \( y \). Theo đề bài, tổng chiều rộng của tấm kim loại là 80 cm, do đó ta có phương trình: \[ 2x + y = 80 \] Diện tích mặt cắt \( S \) của hình chữ nhật được tính bằng: \[ S = 2x \cdot y \] Thay \( y = 80 - 2x \) vào biểu thức diện tích, ta có: \[ S = 2x(80 - 2x) = 160x - 4x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( S \), ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( S(x) = 160x - 4x^2 \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định Vì \( x \) là chiều rộng của một phần mặt cắt, nên \( x > 0 \). Đồng thời, \( y = 80 - 2x > 0 \) dẫn đến \( x < 40 \). Vậy điều kiện xác định là: \[ 0 < x < 40 \] Bước 2: Tính đạo hàm và tìm cực trị Tính đạo hàm của \( S(x) \): \[ S'(x) = 160 - 8x \] Giải phương trình \( S'(x) = 0 \) để tìm giá trị \( x \) tại đó \( S(x) \) đạt cực trị: \[ 160 - 8x = 0 \] \[ 8x = 160 \] \[ x = 20 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị cực trị Ta cần kiểm tra xem \( x = 20 \) có phải là điểm cực đại không. Xét dấu của \( S'(x) \): - Khi \( x < 20 \), \( S'(x) = 160 - 8x > 0 \) (hàm số đồng biến). - Khi \( x > 20 \), \( S'(x) = 160 - 8x < 0 \) (hàm số nghịch biến). Do đó, \( x = 20 \) là điểm cực đại của hàm số \( S(x) \). Kết luận Giá trị lớn nhất của diện tích mặt cắt \( S \) là khi \( x = 20 \). Khi đó, diện tích mặt cắt đạt giá trị lớn nhất, đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em.