giai bai tap

Để tìm cực trị của hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 9}{x - 2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( x - 2 \neq 0 \). Do đó, tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \). Bước 2: Tính đạo hàm Ta tính đạo hàm của hàm số \( y \) theo \( x \): \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 2) - (x^2 - 2x + 9)}{(x - 2)^2} \] Khai triển và rút gọn tử số: \[ = \frac{2x^2 - 4x - 2x + 4 - x^2 + 2x - 9}{(x - 2)^2} \] \[ = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x - 2)^2} \] Bước 3: Tìm các điểm mà \( y' = 0 \) Giải phương trình: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \] \[ x = 5 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bước 4: Lập bảng biến thiên Dựa vào dấu của \( y' \), ta lập bảng biến thiên: - Khi \( x < -1 \), \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). - Khi \( -1 < x < 2 \), \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). - Khi \( 2 < x < 5 \), \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). - Khi \( x > 5 \), \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). Bước 5: Kết luận cực trị Từ bảng biến thiên: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \) với giá trị \( y(-1) = \frac{(-1)^2 - 2(-1) + 9}{-1 - 2} = -4 \). - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 5 \) với giá trị \( y(5) = \frac{5^2 - 2 \times 5 + 9}{5 - 2} = 8 \). Vậy, hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \) với \( y_{CĐ} = -4 \) và cực tiểu tại \( x = 5 \) với \( y_{CT} = 8 \).