giải bài tập trên Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sin x+\cos x$ trên đoạn $[0;2\pi$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ y = \sin x + \cos x $ trên đoạn $[0, 2\pi]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y = \sin x + \cos x
   $$
   Đạo hàm của $ y $ theo $ x $ là:
   $$
   y&#x27; = \cos x - \sin x
   $$

2. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   \cos x - \sin x = 0
   $$
   $$
   \cos x = \sin x
   $$
   $$
   \tan x = 1
   $$
   Trên đoạn $[0, 2\pi]$, các nghiệm của phương trình này là:
   $$
   x = \frac{\pi}{4} \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{4}
   $$

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn:
   - Tại $ x = 0 $:
     $$
     y(0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1
     $$
   - Tại $ x = \frac{\pi}{4} $:
     $$
     y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
     $$
   - Tại $ x = \frac{5\pi}{4} $:
     $$
     y\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin \frac{5\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}
     $$
   - Tại $ x = 2\pi $:
     $$
     y(2\pi) = \sin 2\pi + \cos 2\pi = 0 + 1 = 1
     $$

4. So sánh các giá trị đã tính để tìm GTLN và GTNN:
   - Giá trị lớn nhất của hàm số là $ \sqrt{2} $, đạt được khi $ x = \frac{\pi}{4} $.
   - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ -\sqrt{2} $, đạt được khi $ x = \frac{5\pi}{4} $.

Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \sin x + \cos x $ trên đoạn $[0, 2\pi]$ là $ \sqrt{2} $, đạt được khi $ x = \frac{\pi}{4} $.
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = \sin x + \cos x $ trên đoạn $[0, 2\pi]$ là $ -\sqrt{2} $, đạt được khi $ x = \frac{5\pi}{4} $.