Cho tôi đáp án câu 1 và lời giải

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( \triangle ABC \) với đường thẳng cắt \( BC \) tại \( P \), \( AB \) tại \( M \), và \( AC \) tại \( N \). Bước 1: Xác định tỉ số trên các đoạn thẳng. - Theo đề bài, \( AM = 2MB \), do đó ta có tỉ số: \[ \frac{AM}{MB} = 2 \] - N là trung điểm của \( AC \), do đó: \[ \frac{AN}{NC} = 1 \] Bước 2: Áp dụng định lý Menelaus. Định lý Menelaus cho tam giác \( \triangle ABC \) với đường thẳng cắt \( BC \) tại \( P \), \( AB \) tại \( M \), và \( AC \) tại \( N \) cho ta: \[ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CN}{NA} = 1 \] Thay các tỉ số đã biết vào phương trình: \[ 2 \cdot \frac{BP}{PC} \cdot 1 = 1 \] Từ đó, ta suy ra: \[ \frac{BP}{PC} = \frac{1}{2} \] Bước 3: Tính tỉ số \(\frac{PB}{BC}\). Ta có: \[ \frac{BP}{PC} = \frac{1}{2} \Rightarrow BP = \frac{1}{2} PC \] Gọi \( BP = x \) thì \( PC = 2x \). Do đó, \( BC = BP + PC = x + 2x = 3x \). Vậy: \[ \frac{PB}{BC} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} \] Kết luận: \(\frac{PB}{BC} = \frac{1}{3}\). Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học, đặc biệt là định lý Menelaus và tính chất của trung tuyến trong tam giác. Bước 1: Xác định các điểm và đoạn thẳng liên quan - Tam giác \( ABC \) có trung tuyến \( AM \), tức là \( M \) là trung điểm của \( BC \). - \( N \) là trung điểm của \( AM \). - Đường thẳng \( BN \) cắt \( AC \) tại \( P \). Bước 2: Áp dụng định lý Menelaus Định lý Menelaus cho tam giác \( \triangle AMC \) với đường thẳng cắt là \( BNP \) cho ta: \[ \frac{PA}{PC} \cdot \frac{CB}{BM} \cdot \frac{MN}{NA} = 1 \] Bước 3: Tính các tỉ số - Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( \frac{CB}{BM} = 2 \). - Vì \( N \) là trung điểm của \( AM \), ta có \( \frac{MN}{NA} = 1 \). Bước 4: Thay vào công thức Menelaus Thay các tỉ số vào công thức Menelaus, ta có: \[ \frac{PA}{PC} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \] Suy ra: \[ \frac{PA}{PC} = \frac{1}{2} \] Kết luận Tỉ số \(\frac{PA}{PC} = \frac{1}{2}\). Điều này có nghĩa là đoạn \( PA \) bằng một nửa đoạn \( PC \). Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng định lý Menelaus trong tam giác và một số tính chất hình học cơ bản. Bước 1: Xác định các tỷ số cần thiết Ta có các điều kiện sau: - \( MA = MB \) nên \( \frac{MA}{MB} = 1 \). - \( AN = 2NC \) nên \( \frac{AN}{NC} = 2 \). Bước 2: Áp dụng định lý Menelaus Xét tam giác \( \triangle AMC \) với đường thẳng \( BNP \) cắt \( AC \) tại \( N \) và \( AB \) tại \( B \). Theo định lý Menelaus, ta có: \[ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1 \] Thay các tỷ số đã biết vào: \[ \frac{AM}{MB} = 1, \quad \frac{AN}{NC} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{BN}{NC} = \frac{1}{2} \] Thay vào công thức Menelaus: \[ 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1 \] Suy ra: \[ \frac{CP}{PA} = 2 \] Bước 3: Tính \(\frac{PM}{MC}\) Từ \(\frac{CP}{PA} = 2\), ta có: \[ \frac{PA}{CP} = \frac{1}{2} \] Do đó, nếu gọi \( x = PM \) và \( y = MC \), thì: \[ \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \] Vậy, \(\frac{PM}{MC} = \frac{1}{2}\). Kết luận: \(\frac{PM}{MC} = \frac{1}{2}\). Câu 4: Để tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng (AMN), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm đặc biệt: - Gọi \( D \) là điểm gốc tọa độ \( (0, 0, 0) \). - Vì \( ABCD \) là hình bình hành, ta có thể chọn các điểm: - \( A(a, 0, 0) \) - \( B(b, c, 0) \) - \( C(a+b, c, 0) \) - Điểm \( S \) có tọa độ \( (x_s, y_s, z_s) \). 2. Xác định điểm \( M \): - \( M \in SD \) và \( SM = 3MD \) nghĩa là \( M \) chia đoạn \( SD \) theo tỉ lệ \( 3:1 \). - Tọa độ của \( M \) được xác định bằng công thức chia đoạn: \[ M = \left( \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot x_s}{3+1}, \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot y_s}{3+1}, \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot z_s}{3+1} \right) = \left( \frac{x_s}{4}, \frac{y_s}{4}, \frac{z_s}{4} \right) \] 3. Xác định điểm \( N \): - \( N \) là trung điểm của \( SC \), do đó: \[ N = \left( \frac{x_s + (a+b)}{2}, \frac{y_s + c}{2}, \frac{z_s + 0}{2} \right) \] 4. Xác định mặt phẳng (AMN): - Ta cần tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \( A, M, N \). - Tính các vector: \[ \overrightarrow{AM} = \left( \frac{x_s}{4} - a, \frac{y_s}{4}, \frac{z_s}{4} \right) \] \[ \overrightarrow{AN} = \left( \frac{x_s + a + b}{2} - a, \frac{y_s + c}{2}, \frac{z_s}{2} \right) \] - Tính tích có hướng \(\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AN}\) để tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng. 5. Xác định thiết diện: - Mặt phẳng (AMN) cắt các cạnh của hình chóp S.ABCD để tạo thành thiết diện. - Xác định giao điểm của mặt phẳng (AMN) với các cạnh của hình chóp để tìm các điểm thuộc thiết diện. 6. Kết luận: - Thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng (AMN) là một tứ giác hoặc tam giác tùy thuộc vào vị trí của các điểm giao cắt. - Cần tính toán cụ thể các giao điểm để xác định hình dạng chính xác của thiết diện. Với các bước trên, ta có thể xác định được thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng (AMN). Câu 5: Để tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng (MNP), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm M, N, P: - M là trung điểm của AB, do đó tọa độ của M là trung bình cộng tọa độ của A và B. - N là trung điểm của AD, do đó tọa độ của N là trung bình cộng tọa độ của A và D. - P là trọng tâm của tam giác SCD, do đó tọa độ của P là trung bình cộng tọa độ của S, C và D. 2. Xác định mặt phẳng (MNP): Để xác định mặt phẳng (MNP), ta cần tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M, N, P. Giả sử tọa độ của các điểm là: - \( M(x_1, y_1, z_1) \) - \( N(x_2, y_2, z_2) \) - \( P(x_3, y_3, z_3) \) Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0 \] với \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Để tìm \((a, b, c)\), ta sử dụng tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{MP}\): \[ \overrightarrow{MN} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] \[ \overrightarrow{MP} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) \] Tích có hướng \(\overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP}\) cho ta vectơ pháp tuyến \((a, b, c)\). 3. Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp: - Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh SA, SB, SC, SD, và các cạnh của hình bình hành ABCD. - Để tìm giao điểm, ta thay tọa độ của các điểm trên các cạnh vào phương trình mặt phẳng (MNP) và giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm. 4. Xác định thiết diện: - Sau khi tìm được các giao điểm, ta xác định các điểm này tạo thành một đa giác. Đa giác này chính là thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (MNP). 5. Kết luận: Thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng (MNP) là một đa giác có các đỉnh là các giao điểm tìm được ở bước 3. Lưu ý: Để thực hiện các bước trên, cần có tọa độ cụ thể của các điểm A, B, C, D, S. Nếu không có tọa độ cụ thể, ta chỉ có thể mô tả phương pháp chung như trên. Câu 6: Để tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng (IGK), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm I, K, G: - I là trung điểm của CD, do đó tọa độ của I là trung bình cộng tọa độ của C và D. - K là trung điểm của BB', do đó tọa độ của K là trung bình cộng tọa độ của B và B'. - G là trọng tâm của tam giác SAD, do đó tọa độ của G là trung bình cộng tọa độ của S, A và D. 2. Xác định mặt phẳng (IGK): - Mặt phẳng (IGK) được xác định bởi ba điểm I, G, K. Ta cần tìm phương trình mặt phẳng này. 3. Tìm giao điểm của mặt phẳng (IGK) với các cạnh của hình chóp: - Tìm giao điểm của mặt phẳng (IGK) với các cạnh SA, SB, SC, SD, AB, BC, CD, DA. - Do AB // CD, nên giao điểm của mặt phẳng (IGK) với AB và CD sẽ nằm trên cùng một đường thẳng song song với AB và CD. 4. Xác định thiết diện: - Thiết diện là một tứ giác hoặc đa giác tùy thuộc vào số giao điểm mà mặt phẳng (IGK) cắt các cạnh của hình chóp. - Liệt kê các giao điểm theo thứ tự để xác định hình dạng của thiết diện. 5. Lập luận chi tiết: - Do I là trung điểm của CD, nên mặt phẳng (IGK) sẽ cắt CD tại I. - Do K là trung điểm của BB', nên mặt phẳng (IGK) sẽ cắt BB' tại K. - G là trọng tâm của tam giác SAD, nên mặt phẳng (IGK) sẽ cắt các cạnh SA, SD tại các điểm mà khi nối với G sẽ tạo thành các đoạn thẳng chia tam giác SAD thành các phần có diện tích bằng nhau. 6. Kết luận: - Thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng (IGK) là một tứ giác hoặc đa giác tùy thuộc vào cách mặt phẳng cắt các cạnh của hình chóp. - Cần vẽ hình và xác định rõ các giao điểm để có thể kết luận chính xác về hình dạng của thiết diện. Lưu ý: Để có thể xác định chính xác thiết diện, cần có thêm thông tin về tọa độ hoặc độ dài các cạnh của hình chóp.