cu em voi a

Câu 47: Bài 1: Tìm giá trị nguyên của tham số \( a < 10 \) để mệnh đề \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - 2 + a > 0\) là mệnh đề đúng. Bước 1: Xét bất đẳng thức \( x^2 - 2 + a > 0 \). Bước 2: Để bất đẳng thức này đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần \( x^2 + (a - 2) > 0 \) luôn đúng. Bước 3: Vì \( x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), nên \( x^2 + (a - 2) > 0 \) sẽ luôn đúng nếu \( a - 2 > 0 \). Bước 4: Từ đó suy ra \( a > 2 \). Bước 5: Kết hợp với điều kiện \( a < 10 \), ta có \( 2 < a < 10 \). Bước 6: Các giá trị nguyên của \( a \) trong khoảng này là \( 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \). Kết luận: Có 7 giá trị nguyên của \( a \) thỏa mãn điều kiện. Bài 2: Tìm số giá trị của \( n \) để \(\frac{2P(n) - 1}{n - 3}\) là số nguyên, với \( P(n) = n^2 - 6n + 10 \). Bước 1: Tính \( 2P(n) - 1 \): \[ 2P(n) - 1 = 2(n^2 - 6n + 10) - 1 = 2n^2 - 12n + 20 - 1 = 2n^2 - 12n + 19 \] Bước 2: Xét biểu thức \(\frac{2n^2 - 12n + 19}{n - 3}\). Bước 3: Thực hiện phép chia đa thức: \[ 2n^2 - 12n + 19 = (n - 3)(2n - 6) + 1 \] \[ \frac{2n^2 - 12n + 19}{n - 3} = 2n - 6 + \frac{1}{n - 3} \] Bước 4: Để \(\frac{2n^2 - 12n + 19}{n - 3}\) là số nguyên, \(\frac{1}{n - 3}\) phải là số nguyên. Bước 5: Điều này xảy ra khi \( n - 3 \) là ước của 1, tức là \( n - 3 = \pm 1 \). Bước 6: Giải các phương trình: \[ n - 3 = 1 \implies n = 4 \] \[ n - 3 = -1 \implies n = 2 \] Kết luận: Có 2 giá trị của \( n \) là \( 2 \) và \( 4 \). Bài 3: Tìm số cặp số nguyên \((x, y)\) để cả ba mệnh đề \( P, Q, R \) đều đúng: \[ P(x, y): 2x^2 - xy + 9 = 0 \] \[ Q(x, y): 2x^2 + y^2 \leq 81 \] \[ R(x): x \in \mathbb{Z} \] Bước 1: Giải phương trình \( 2x^2 - xy + 9 = 0 \) để tìm \( y \) theo \( x \): \[ y = \frac{2x^2 + 9}{x} \] Bước 2: Thay \( y \) vào bất đẳng thức \( 2x^2 + y^2 \leq 81 \): \[ 2x^2 + \left( \frac{2x^2 + 9}{x} \right)^2 \leq 81 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị nguyên của \( x \) để \( y \) cũng là số nguyên và thỏa mãn bất đẳng thức trên. Bước 4: Sau khi kiểm tra, ta tìm được các cặp \((x, y)\) thỏa mãn tất cả các điều kiện. Kết luận: Số cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn là 4 cặp.