cu em voi a

Câu 47: Để mệnh đề $\forall x\in\mathbb{R},x^2-2+a>0$ là mệnh đề đúng, ta cần đảm bảo rằng bất đẳng thức $x^2 - 2 + a > 0$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. Bước 1: Xét biểu thức $x^2 - 2 + a$. Ta thấy rằng $x^2$ luôn không âm với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, để $x^2 - 2 + a > 0$ đúng với mọi $x$, ta cần $-2 + a > 0$. Bước 2: Giải bất phương trình $-2 + a > 0$: \[ -2 + a > 0 \implies a > 2. \] Bước 3: Vì $a < 10$ và $a$ là số nguyên, nên các giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn điều kiện $2 < a < 10$ là: \[ a = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. \] Bước 4: Đếm số lượng giá trị nguyên của $a$ trong khoảng này: \[ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. \] Có tất cả 7 giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn điều kiện. Vậy, có 7 giá trị nguyên của tham số $a < 10$ để mệnh đề $\forall x\in\mathbb{R},x^2-2+a>0$ là mệnh đề đúng. Câu 48: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức \(\frac{2P(n)-1}{n-3}\). 2. Biến đổi biểu thức \(\frac{2P(n)-1}{n-3}\) để tìm các giá trị của \(n\) sao cho biểu thức này là số nguyên. Bước 1: Xác định ĐKXĐ: Biểu thức \(\frac{2P(n)-1}{n-3}\) có mẫu số là \(n-3\). Để biểu thức này xác định, mẫu số phải khác 0, tức là: \[ n - 3 \neq 0 \] \[ n \neq 3 \] Bước 2: Biến đổi biểu thức: Ta có \(P(n) = n^2 - 6n + 10\). Thay \(P(n)\) vào biểu thức \(\frac{2P(n)-1}{n-3}\): \[ 2P(n) - 1 = 2(n^2 - 6n + 10) - 1 \] \[ = 2n^2 - 12n + 20 - 1 \] \[ = 2n^2 - 12n + 19 \] Do đó, biểu thức trở thành: \[ \frac{2n^2 - 12n + 19}{n-3} \] Bước 3: Tìm các giá trị của \(n\) sao cho biểu thức \(\frac{2n^2 - 12n + 19}{n-3}\) là số nguyên: Ta sẽ thực hiện phép chia đa thức \(2n^2 - 12n + 19\) cho \(n-3\). Thực hiện phép chia: \[ 2n^2 - 12n + 19 \div (n-3) \] Chia \(2n^2\) cho \(n\) ta được \(2n\). Nhân \(2n\) với \(n-3\) ta được \(2n^2 - 6n\). Trừ \(2n^2 - 12n + 19\) cho \(2n^2 - 6n\) ta được \(-6n + 19\). Chia \(-6n\) cho \(n\) ta được \(-6\). Nhân \(-6\) với \(n-3\) ta được \(-6n + 18\). Trừ \(-6n + 19\) cho \(-6n + 18\) ta được \(1\). Vậy kết quả của phép chia là: \[ 2n - 6 + \frac{1}{n-3} \] Để \(\frac{2n^2 - 12n + 19}{n-3}\) là số nguyên, \(\frac{1}{n-3}\) phải là số nguyên. Điều này xảy ra khi \(n-3\) là ước của 1, tức là: \[ n-3 = 1 \quad \text{hoặc} \quad n-3 = -1 \] \[ n = 4 \quad \text{hoặc} \quad n = 2 \] Kiểm tra các giá trị \(n = 4\) và \(n = 2\): - Với \(n = 4\): \[ \frac{2(4)^2 - 12(4) + 19}{4-3} = \frac{32 - 48 + 19}{1} = \frac{3}{1} = 3 \quad (\text{số nguyên}) \] - Với \(n = 2\): \[ \frac{2(2)^2 - 12(2) + 19}{2-3} = \frac{8 - 24 + 19}{-1} = \frac{3}{-1} = -3 \quad (\text{số nguyên}) \] Vậy có 2 giá trị của \(n\) là 4 và 2 để \(\frac{2P(n)-1}{n-3}\) là số nguyên. Đáp số: 2 giá trị. Câu 49: Để tìm các cặp số $(x; y)$ sao cho cả ba mệnh đề $P$, $Q$, và $R$ đều đúng, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng điều kiện. 1. Điều kiện của mệnh đề $P(x; y)$: \[ 2x^2 - xy + 9 = 0 \] Đây là một phương trình bậc hai trong $x$. Ta sẽ giải phương trình này theo $x$: \[ 2x^2 - xy + 9 = 0 \] Phương trình này có thể viết lại dưới dạng: \[ 2x^2 - xy + 9 = 0 \] Để phương trình này có nghiệm thực, discriminant $\Delta$ phải không âm: \[ \Delta = (-y)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = y^2 - 72 \geq 0 \] \[ y^2 \geq 72 \] \[ y \geq \sqrt{72} \quad \text{hoặc} \quad y \leq -\sqrt{72} \] \[ y \geq 6\sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad y \leq -6\sqrt{2} \] 2. Điều kiện của mệnh đề $Q(x; y)$: \[ 2x^2 + y^2 \leq 81 \] Đây là một bất phương trình mô tả miền trong của một elip. 3. Điều kiện của mệnh đề $R(x)$: \[ x \in \mathbb{Z} \] Điều này có nghĩa là $x$ phải là số nguyên. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên của $x$ và tìm các giá trị tương ứng của $y$ thỏa mãn cả ba điều kiện trên. - Khi $x = 0$: \[ 2(0)^2 - 0 \cdot y + 9 = 0 \implies 9 = 0 \quad (\text{sai}) \] Không có giá trị $y$ nào thỏa mãn. - Khi $x = 1$: \[ 2(1)^2 - 1 \cdot y + 9 = 0 \implies 2 - y + 9 = 0 \implies y = 11 \] Kiểm tra điều kiện $Q$: \[ 2(1)^2 + (11)^2 = 2 + 121 = 123 \quad (\text{sai}) \] Không có giá trị $y$ nào thỏa mãn. - Khi $x = -1$: \[ 2(-1)^2 - (-1) \cdot y + 9 = 0 \implies 2 + y + 9 = 0 \implays y = -11 \] Kiểm tra điều kiện $Q$: \[ 2(-1)^2 + (-11)^2 = 2 + 121 = 123 \quad (\text{sai}) \] Không có giá trị $y$ nào thỏa mãn. - Khi $x = 2$: \[ 2(2)^2 - 2 \cdot y + 9 = 0 \implies 8 - 2y + 9 = 0 \implays y = \frac{17}{2} \] Kiểm tra điều kiện $Q$: \[ 2(2)^2 + \left(\frac{17}{2}\right)^2 = 8 + \frac{289}{4} = 8 + 72.25 = 80.25 \quad (\text{đúng}) \] Có giá trị $y = \frac{17}{2}$ thỏa mãn. - Khi $x = -2$: \[ 2(-2)^2 - (-2) \cdot y + 9 = 0 \implays 8 + 2y + 9 = 0 \implays y = -\frac{17}{2} \] Kiểm tra điều kiện $Q$: \[ 2(-2)^2 + \left(-\frac{17}{2}\right)^2 = 8 + \frac{289}{4} = 8 + 72.25 = 80.25 \quad (\text{đúng}) \] Có giá trị $y = -\frac{17}{2}$ thỏa mãn. Do đó, có 2 cặp số $(x; y)$ thỏa mãn cả ba điều kiện $P$, $Q$, và $R$: \[ (2; \frac{17}{2}) \quad \text{và} \quad (-2; -\frac{17}{2}) \] Đáp số: 2 cặp số.