Giải hộ mình câu này với các bạnGiải hộ mình câu này với các bạn 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A $(AB=AC=a),SA\bot(ABC).$,$SA=a.$ Tính góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng đáy (ABC).

Question

Accepted Answer

Để tính góc giữa cạnh bên $ SB $ và mặt phẳng đáy $ (ABC) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các yếu tố cơ bản của hình chóp:

- Đáy $ \triangle ABC $ là tam giác vuông cân tại $ A $, do đó $ AB = AC = a $ và $ \angle BAC = 90^\circ $.
   - $ SA \perp (ABC) $ và $ SA = a $.

2. Tính độ dài cạnh đáy $ BC $:

- Vì $ \triangle ABC $ là tam giác vuông cân tại $ A $, ta có:
     $$
     BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}.
     $$

3. Tính tọa độ các điểm:

- Đặt $ A(0, 0, 0) $, $ B(a, 0, 0) $, $ C(0, a, 0) $, và $ S(0, 0, a) $.

4. Tính vector $ \overrightarrow{SB} $ và vector pháp tuyến của mặt phẳng $ (ABC) $:

- Vector $ \overrightarrow{SB} = (a, 0, a) $.
   - Vector pháp tuyến của mặt phẳng $ (ABC) $ là $ \overrightarrow{n} = (0, 0, 1) $ vì $ SA \perp (ABC) $.

5. Tính góc giữa $ \overrightarrow{SB} $ và mặt phẳng $ (ABC) $:

- Góc giữa $ \overrightarrow{SB} $ và mặt phẳng $ (ABC) $ chính là góc giữa $ \overrightarrow{SB} $ và $ \overrightarrow{n} $.
   - Sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vector:
     $$
     \cos \theta = \frac{\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{n}}{\|\overrightarrow{SB}\| \cdot \|\overrightarrow{n}\|}.
     $$
   - Tính tích vô hướng:
     $$
     \overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{n} = (a, 0, a) \cdot (0, 0, 1) = a.
     $$
   - Tính độ dài các vector:
     $$
     \|\overrightarrow{SB}\| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2},
     $$
     $$
     \|\overrightarrow{n}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1.
     $$
   - Thay vào công thức:
     $$
     \cos \theta = \frac{a}{a\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
     $$
   - Do đó, $ \theta = 45^\circ $.

Vậy, góc giữa cạnh bên $ SB $ và mặt phẳng đáy $ (ABC) $ là $ 45^\circ $.