Cho tam giác ABC, trung tuyến AI. Tia phân giác góc AIB cắt AB tại M và tia phân giác góc AIC cắt AC tại N. Chứng minh rằng: MN // BC.

Để chứng minh rằng \( MN \parallel BC \), ta cần sử dụng một số tính chất của tam giác và đường phân giác. 1. Xét tam giác \( AIB \) và tam giác \( AIC \): - \( AI \) là trung tuyến của tam giác \( ABC \), do đó \( I \) là trung điểm của \( BC \). - Tia phân giác của góc \( AIB \) cắt \( AB \) tại \( M \). - Tia phân giác của góc \( AIC \) cắt \( AC \) tại \( N \). 2. Sử dụng tính chất của đường phân giác: - Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có: \[ \frac{AM}{MB} = \frac{AI}{IB} \] - Tương tự, trong tam giác \( AIC \), ta có: \[ \frac{AN}{NC} = \frac{AI}{IC} \] 3. Vì \( I \) là trung điểm của \( BC \), nên \( IB = IC \). - Do đó, từ hai tỉ lệ trên, ta có: \[ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \] 4. Áp dụng định lý Thales đảo: - Từ tỉ lệ \(\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}\), theo định lý Thales đảo, ta suy ra rằng \( MN \parallel BC \). Như vậy, ta đã chứng minh được \( MN \parallel BC \).