giải các phương trình sau a) sin 2x + cos 4x = 0

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình $ \sin 2x + \cos 4x = 0 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn.
Ta biết rằng $ \cos 4x = \cos(2 \cdot 2x) $. Sử dụng công thức góc nhân đôi:
$$ \cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x $$

Thay vào phương trình ban đầu:
$$ \sin 2x + 1 - 2\sin^2 2x = 0 $$

Bước 2: Đặt $ y = \sin 2x $.
Phương trình trở thành:
$$ y + 1 - 2y^2 = 0 $$
$$ 2y^2 - y - 1 = 0 $$

Bước 3: Giải phương trình bậc hai $ 2y^2 - y - 1 = 0 $.
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ ay^2 + by + c = 0 $:
$$ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Trong đó $ a = 2 $, $ b = -1 $, $ c = -1 $:
$$ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} $$
$$ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} $$
$$ y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} $$
$$ y = \frac{1 \pm 3}{4} $$

Do đó:
$$ y = \frac{1 + 3}{4} = 1 $$
$$ y = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} $$

Bước 4: Thay lại $ y = \sin 2x $.
$$ \sin 2x = 1 \quad \text{hoặc} \quad \sin 2x = -\frac{1}{2} $$

Bước 5: Giải các phương trình lượng giác.
$$ \sin 2x = 1 $$
$$ 2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi $$
$$ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $$

$$ \sin 2x = -\frac{1}{2} $$
$$ 2x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi $$
$$ x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{7\pi}{12} + k\pi $$

Kết luận:
Các nghiệm của phương trình $ \sin 2x + \cos 4x = 0 $ là:
$$ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $$
$$ x = -\frac{\pi}{12} + k\pi $$
$$ x = \frac{7\pi}{12} + k\pi $$
với $ k $ là số nguyên bất kỳ.