giup e voi a

Ví dụ 3: Để biến đổi các biểu thức lượng giác thành dạng tổng, ta sử dụng các công thức lượng giác phù hợp. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng biểu thức: (1) \( A = \sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \) Sử dụng công thức nhân đôi và công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2} \left( \cos(20^\circ - 40^\circ) + \cos(20^\circ + 40^\circ) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos(-20^\circ) + \cos 60^\circ \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \cos 20^\circ + \frac{1}{2} \right) \] Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = \sin 10^\circ \cdot \frac{1}{2} \left( \cos 20^\circ + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \sin 10^\circ \cos 20^\circ + \frac{1}{4} \sin 10^\circ \] Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho \(\sin 10^\circ \cos 20^\circ\): \[ \sin 10^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2} \left( \sin(10^\circ + 20^\circ) + \sin(10^\circ - 20^\circ) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 30^\circ + \sin(-10^\circ) \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \sin 10^\circ \right) \] Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \sin 10^\circ \right) + \frac{1}{4} \sin 10^\circ \] (2) \( B = \sin x \sin 2x \sin 3x \) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \sin x \sin 2x = \frac{1}{2} \left( \cos(x - 2x) - \cos(x + 2x) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos(-x) - \cos 3x \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \cos x - \cos 3x \right) \] Thay vào biểu thức \( B \): \[ B = \frac{1}{2} \left( \cos x - \cos 3x \right) \sin 3x \] Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho \(\cos x \sin 3x\) và \(\cos 3x \sin 3x\): \[ \cos x \sin 3x = \frac{1}{2} \left( \sin(x + 3x) - \sin(x - 3x) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 4x - \sin(-2x) \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \sin 4x + \sin 2x \right) \] \[ \cos 3x \sin 3x = \frac{1}{2} \left( \sin(3x + 3x) - \sin(3x - 3x) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 6x - 0 \right) \] Thay vào biểu thức \( B \): \[ B = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \left( \sin 4x + \sin 2x \right) - \frac{1}{2} \sin 6x \right) \] (3) \( C = 8 \cos x \sin 2x \sin 3x \) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \sin 2x \sin 3x = \frac{1}{2} \left( \cos(2x - 3x) - \cos(2x + 3x) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos(-x) - \cos 5x \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \cos x - \cos 5x \right) \] Thay vào biểu thức \( C \): \[ C = 8 \cos x \cdot \frac{1}{2} \left( \cos x - \cos 5x \right) = 4 \left( \cos^2 x - \cos x \cos 5x \right) \] Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho \(\cos x \cos 5x\): \[ \cos x \cos 5x = \frac{1}{2} \left( \cos(x + 5x) + \cos(x - 5x) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos 6x + \cos(-4x) \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \cos 6x + \cos 4x \right) \] Thay vào biểu thức \( C \): \[ C = 4 \left( \cos^2 x - \frac{1}{2} \left( \cos 6x + \cos 4x \right) \right) \] (4) \( D = \cos x \cos(x - 60^\circ) \cos(x + 60^\circ) \) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \cos(x - 60^\circ) \cos(x + 60^\circ) = \frac{1}{2} \left( \cos((x - 60^\circ) + (x + 60^\circ)) + \cos((x - 60^\circ) - (x + 60^\circ)) \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \cos(2x) + \cos(-120^\circ) \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \cos 2x + \cos 120^\circ \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \cos 2x - \frac{1}{2} \right) \] Thay vào biểu thức \( D \): \[ D = \cos x \cdot \frac{1}{2} \left( \cos 2x - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cos x \cos 2x - \frac{1}{4} \cos x \] Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho \(\cos x \cos 2x\): \[ \cos x \cos 2x = \frac{1}{2} \left( \cos(x + 2x) + \cos(x - 2x) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos 3x + \cos(-x) \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \cos 3x + \cos x \right) \] Thay vào biểu thức \( D \): \[ D = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \left( \cos 3x + \cos x \right) - \frac{1}{4} \cos x \] Trên đây là các bước biến đổi từng biểu thức lượng giác thành dạng tổng. Ví dụ 3: Để chứng minh đẳng thức \(4\cos x\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\cos 3x\), ta thực hiện các bước sau: 1. Sử dụng công thức nhân đôi: Ta có công thức: \[ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b \] Áp dụng cho \(\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\) và \(\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\): \[ \cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos x + \sin\frac{\pi}{3}\sin x \] \[ \cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\sin x \] 2. Thay giá trị \(\cos\frac{\pi}{3}\) và \(\sin\frac{\pi}{3}\): \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) và \(\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Thay vào, ta có: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \] \[ \cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \] 3. Nhân hai biểu thức: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)\left(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) \] Áp dụng hằng đẳng thức: \[ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \] Ta có: \[ = \left(\frac{1}{2}\cos x\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)^2 \] \[ = \frac{1}{4}\cos^2 x - \frac{3}{4}\sin^2 x \] 4. Thay vào biểu thức ban đầu: \[ 4\cos x \left(\frac{1}{4}\cos^2 x - \frac{3}{4}\sin^2 x\right) \] \[ = \cos x (\cos^2 x - 3\sin^2 x) \] 5. Sử dụng công thức \(\cos 3x\): Ta có công thức: \[ \cos 3x = \cos x (4\cos^2 x - 3) \] Nhận thấy: \[ \cos^2 x - 3\sin^2 x = \cos^2 x - 3(1 - \cos^2 x) = 4\cos^2 x - 3 \] Vậy: \[ \cos x (\cos^2 x - 3\sin^2 x) = \cos x (4\cos^2 x - 3) = \cos 3x \] Do đó, ta đã chứng minh được: \[ 4\cos x\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \cos 3x \] Ví dụ 3: Để chứng minh rằng biểu thức \( S = \cos^2 x + \cos^2 \left( \frac{2\pi}{3} + x \right) + \cos^2 \left( \frac{2\pi}{3} - x \right) \) không phụ thuộc vào giá trị của \( x \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Sử dụng công thức cộng góc: Ta có công thức: \[ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b \] Áp dụng công thức này cho \(\cos\left(\frac{2\pi}{3} + x\right)\) và \(\cos\left(\frac{2\pi}{3} - x\right)\): \[ \cos\left(\frac{2\pi}{3} + x\right) = \cos\frac{2\pi}{3} \cos x - \sin\frac{2\pi}{3} \sin x \] \[ \cos\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) = \cos\frac{2\pi}{3} \cos x + \sin\frac{2\pi}{3} \sin x \] 2. Tính giá trị của \(\cos\frac{2\pi}{3}\) và \(\sin\frac{2\pi}{3}\): \[ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 3. Thay vào các biểu thức trên: \[ \cos\left(\frac{2\pi}{3} + x\right) = -\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \] \[ \cos\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) = -\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \] 4. Tính bình phương của các biểu thức: \[ \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} + x\right) = \left(-\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right)^2 \] \[ = \frac{1}{4} \cos^2 x + \frac{3}{4} \sin^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \sin x \] \[ \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) = \left(-\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right)^2 \] \[ = \frac{1}{4} \cos^2 x + \frac{3}{4} \sin^2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \sin x \] 5. Cộng các biểu thức lại: \[ S = \cos^2 x + \left(\frac{1}{4} \cos^2 x + \frac{3}{4} \sin^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \sin x\right) + \left(\frac{1}{4} \cos^2 x + \frac{3}{4} \sin^2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \sin x\right) \] \[ = \cos^2 x + \frac{1}{2} \cos^2 x + \frac{3}{2} \sin^2 x \] \[ = \frac{3}{2} \cos^2 x + \frac{3}{2} \sin^2 x \] \[ = \frac{3}{2} (\cos^2 x + \sin^2 x) = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} \] 6. Kết luận: Giá trị của \( S \) là \(\frac{3}{2}\), không phụ thuộc vào giá trị của \( x \).