giai bai tap nay

Câu 35: Để tìm các giá trị của tham số \( m \) sao cho hàm số \( y = (m-3)x^3 - 2mx^2 + 3 \) không có cực trị, ta cần xét đạo hàm bậc nhất của hàm số này. 1. Tính đạo hàm bậc nhất của \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}[(m-3)x^3 - 2mx^2 + 3] = 3(m-3)x^2 - 4mx \] 2. Hàm số không có cực trị nếu đạo hàm bậc nhất \( y' \) không đổi dấu, tức là \( y' \) không có nghiệm thực hoặc có nghiệm nhưng không đổi dấu. Điều này xảy ra khi \( y' \) là một đa thức bậc hai có biệt số \( \Delta \leq 0 \). 3. Xét biệt số của \( y' \): \[ y' = 3(m-3)x^2 - 4mx \] Đây là một đa thức bậc hai với hệ số \( a = 3(m-3) \), \( b = -4m \), và \( c = 0 \). Biệt số \( \Delta \) của đa thức này là: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4m)^2 - 4 \cdot 3(m-3) \cdot 0 = 16m^2 \] 4. Để \( y' \) không có nghiệm thực hoặc có nghiệm nhưng không đổi dấu, ta yêu cầu \( \Delta \leq 0 \): \[ 16m^2 \leq 0 \] Điều này chỉ đúng khi \( m = 0 \). 5. Kiểm tra trường hợp \( m = 3 \): Nếu \( m = 3 \), thì \( y' = 3(3-3)x^2 - 4 \cdot 3x = -12x \), đây là một đa thức bậc nhất và luôn có nghiệm, do đó hàm số sẽ có cực trị. Vậy, giá trị của tham số \( m \) để hàm số \( y = (m-3)x^3 - 2mx^2 + 3 \) không có cực trị là: \[ \boxed{C.~m=0} \] Câu 36: Để tìm giá trị thực của tham số \( m \) sao cho hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(3m+2)x^2 + (2m^2+3m+1)x - 4 \) có hai điểm cực trị là \( x = 3 \) và \( x = 5 \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = x^2 - (3m+2)x + (2m^2+3m+1) \] 2. Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là \( x = 3 \) và \( x = 5 \): Hàm số có hai điểm cực trị tại \( x = 3 \) và \( x = 5 \) nếu đạo hàm \( y' \) bằng 0 tại các điểm này: \[ y'(3) = 0 \quad \text{và} \quad y'(5) = 0 \] 3. Thay \( x = 3 \) vào \( y' \): \[ y'(3) = 3^2 - (3m+2) \cdot 3 + (2m^2+3m+1) = 0 \] \[ 9 - 3(3m+2) + (2m^2+3m+1) = 0 \] \[ 9 - 9m - 6 + 2m^2 + 3m + 1 = 0 \] \[ 2m^2 - 6m + 4 = 0 \] \[ m^2 - 3m + 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \] \[ m = 2 \quad \text{hoặc} \quad m = 1 \] 4. Thay \( x = 5 \) vào \( y' \): \[ y'(5) = 5^2 - (3m+2) \cdot 5 + (2m^2+3m+1) = 0 \] \[ 25 - 5(3m+2) + (2m^2+3m+1) = 0 \] \[ 25 - 15m - 10 + 2m^2 + 3m + 1 = 0 \] \[ 2m^2 - 12m + 16 = 0 \] \[ m^2 - 6m + 8 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \] \[ m = 4 \quad \text{hoặc} \quad m = 2 \] 5. So sánh các giá trị \( m \) từ cả hai phương trình: Từ \( x = 3 \): \[ m = 2 \quad \text{hoặc} \quad m = 1 \] Từ \( x = 5 \): \[ m = 4 \quad \text{hoặc} \quad m = 2 \] Giá trị \( m \) thỏa mãn cả hai điều kiện là: \[ m = 2 \] Vậy giá trị thực của tham số \( m \) là: \[ \boxed{m = 2} \] Câu 37: Để tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \( y = 2x^3 + bx^2 + cx + 1 \), trước tiên ta cần tìm đạo hàm của hàm số này. 1. Tính đạo hàm: Đạo hàm của hàm số \( y = 2x^3 + bx^2 + cx + 1 \) là: \[ y' = 6x^2 + 2bx + c \] 2. Điều kiện cực trị: Điểm \( M(1; -6) \) là điểm cực tiểu, do đó \( x = 1 \) là nghiệm của phương trình \( y' = 0 \). Thay \( x = 1 \) vào phương trình đạo hàm: \[ 6(1)^2 + 2b(1) + c = 0 \Rightarrow 6 + 2b + c = 0 \quad (1) \] 3. Tính giá trị hàm số tại điểm cực tiểu: Vì \( M(1; -6) \) thuộc đồ thị hàm số, nên: \[ 2(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + 1 = -6 \Rightarrow 2 + b + c + 1 = -6 \Rightarrow b + c = -9 \quad (2) \] 4. Giải hệ phương trình: Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 6 + 2b + c = 0 \\ b + c = -9 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này, ta trừ phương trình (2) từ phương trình (1): \[ (6 + 2b + c) - (b + c) = 0 - (-9) \Rightarrow 6 + b = 9 \Rightarrow b = 3 \] Thay \( b = 3 \) vào phương trình (2): \[ 3 + c = -9 \Rightarrow c = -12 \] 5. Tìm điểm cực đại: Thay \( b = 3 \) và \( c = -12 \) vào đạo hàm: \[ y' = 6x^2 + 2(3)x - 12 = 6x^2 + 6x - 12 \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 6x^2 + 6x - 12 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \] Phương trình này có nghiệm: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Vậy \( x = 1 \) hoặc \( x = -2 \). Vì \( x = 1 \) là điểm cực tiểu, nên \( x = -2 \) là điểm cực đại. 6. Tính giá trị hàm số tại điểm cực đại: Thay \( x = -2 \) vào hàm số: \[ y = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) + 1 = 2(-8) + 3(4) + 24 + 1 \] \[ = -16 + 12 + 24 + 1 = 21 \] Vậy tọa độ điểm cực đại \( N \) là \( (-2, 21) \). Đáp án đúng là \( \boxed{B.~N(-2;21)} \). Câu 38: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \). 2. Sử dụng thông tin về các điểm cực trị để thiết lập các phương trình. 3. Giải hệ phương trình để tìm các hệ số \( a, b, c, d \). 4. Thay giá trị \( x = -2 \) vào hàm số đã tìm được để tính giá trị của hàm số tại \( x = -2 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] Bước 2: Sử dụng thông tin về các điểm cực trị: - Tại \( M(0; 2) \), ta có \( y'(0) = 0 \): \[ y'(0) = 3a(0)^2 + 2b(0) + c = c = 0 \] Do đó, \( c = 0 \). - Tại \( N(2; -2) \), ta có \( y'(2) = 0 \): \[ y'(2) = 3a(2)^2 + 2b(2) + c = 12a + 4b + c = 0 \] Thay \( c = 0 \) vào phương trình trên: \[ 12a + 4b = 0 \] \[ 3a + b = 0 \] \[ b = -3a \] Bước 3: Sử dụng thông tin về các điểm cực trị để tìm \( a \) và \( d \): - Tại \( M(0; 2) \), ta có \( y(0) = 2 \): \[ y(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d = 2 \] Do đó, \( d = 2 \). - Tại \( N(2; -2) \), ta có \( y(2) = -2 \): \[ y(2) = a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = 8a + 4b + 2c + d = -2 \] Thay \( b = -3a \), \( c = 0 \), và \( d = 2 \) vào phương trình trên: \[ 8a + 4(-3a) + 0 + 2 = -2 \] \[ 8a - 12a + 2 = -2 \] \[ -4a + 2 = -2 \] \[ -4a = -4 \] \[ a = 1 \] Do đó, \( b = -3a = -3 \). Bước 4: Thay giá trị \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = 0 \), và \( d = 2 \) vào hàm số: \[ y = x^3 - 3x^2 + 2 \] Tính giá trị của hàm số tại \( x = -2 \): \[ y(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 2 \] \[ y(-2) = -8 - 12 + 2 \] \[ y(-2) = -18 \] Vậy giá trị của hàm số tại \( x = -2 \) là \( y(-2) = -18 \). Đáp án đúng là: \( D.~y(-2) = -18 \). Câu 39: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx \) và sử dụng thông tin về điểm cực trị. 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(ax^3 + bx^2 + cx) = 3ax^2 + 2bx + c \] 2. Sử dụng điều kiện điểm cực trị: Hàm số nhận \( x = -1 \) là một điểm cực trị, tức là tại \( x = -1 \), đạo hàm \( y' \) bằng 0: \[ y'(-1) = 3a(-1)^2 + 2b(-1) + c = 0 \] \[ 3a - 2b + c = 0 \] 3. So sánh với các mệnh đề đã cho: Chúng ta cần so sánh phương trình \( 3a - 2b + c = 0 \) với các mệnh đề A, B, C, D. - Mệnh đề A: \( a + c = b \) \[ 3a - 2b + c = 0 \quad \text{(không tương đương với)} \quad a + c = b \] - Mệnh đề B: \( 2a - b = 0 \) \[ 3a - 2b + c = 0 \quad \text{(không tương đương với)} \quad 2a - b = 0 \] - Mệnh đề C: \( 3a + c = 2b \) \[ 3a - 2b + c = 0 \quad \text{(không tương đương với)} \quad 3a + c = 2b \] - Mệnh đề D: \( 3a + 2b + c = 0 \) \[ 3a - 2b + c = 0 \quad \text{(không tương đương với)} \quad 3a + 2b + c = 0 \] 4. Kết luận: Sau khi so sánh, chúng ta thấy rằng không có bất kỳ mệnh đề nào trong các mệnh đề A, B, C, D thỏa mãn phương trình \( 3a - 2b + c = 0 \). Do đó, không có mệnh đề nào trong các mệnh đề A, B, C, D là đúng.