giai bai tap toan

Câu 41: Để tìm điểm cực trị còn lại của hàm số \( y = 3x^3 - mx^2 + mx - 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^3 - mx^2 + mx - 3) \] \[ y' = 9x^2 - 2mx + m \] 2. Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 9x^2 - 2mx + m = 0 \] 3. Biết rằng \( x_1 = -1 \) là một điểm cực trị, thay \( x = -1 \) vào phương trình đạo hàm: \[ 9(-1)^2 - 2m(-1) + m = 0 \] \[ 9 + 2m + m = 0 \] \[ 9 + 3m = 0 \] \[ 3m = -9 \] \[ m = -3 \] 4. Thay \( m = -3 \) trở lại phương trình đạo hàm: \[ 9x^2 - 2(-3)x + (-3) = 0 \] \[ 9x^2 + 6x - 3 = 0 \] 5. Giải phương trình bậc hai này để tìm các điểm cực trị: \[ 9x^2 + 6x - 3 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 9 \), \( b = 6 \), và \( c = -3 \): \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-3)}}{2 \cdot 9} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 108}}{18} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{18} \] \[ x = \frac{-6 \pm 12}{18} \] 6. Tìm các nghiệm: \[ x_1 = \frac{-6 + 12}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-6 - 12}{18} = \frac{-18}{18} = -1 \] Vậy, điểm cực trị còn lại của hàm số là: \[ x_2 = \frac{1}{3} \] Đáp án đúng là: \[ B.~x_2 = \frac{1}{3} \] Câu 42: Để hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \), ta cần kiểm tra hai điều kiện: 1. Đạo hàm bậc nhất \( y' \) bằng 0 tại \( x = 1 \). 2. Đạo hàm bậc hai \( y'' \) âm tại \( x = 1 \). Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất \( y' \): \[ y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x - 3m^2 + 5 \] \[ y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1) \] Thay \( x = 1 \) vào \( y' \): \[ y'(1) = 3(1)^2 - 6m(1) + 3(m^2 - 1) \] \[ y'(1) = 3 - 6m + 3m^2 - 3 \] \[ y'(1) = 3m^2 - 6m \] Đặt \( y'(1) = 0 \): \[ 3m^2 - 6m = 0 \] \[ 3m(m - 2) = 0 \] \[ m = 0 \text{ hoặc } m = 2 \] Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai \( y'' \): \[ y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1) \] \[ y'' = 6x - 6m \] Thay \( x = 1 \) vào \( y'' \): \[ y''(1) = 6(1) - 6m \] \[ y''(1) = 6 - 6m \] Để hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \), \( y''(1) < 0 \): \[ 6 - 6m < 0 \] \[ 6 < 6m \] \[ 1 < m \] \[ m > 1 \] Kiểm tra các giá trị \( m \) đã tìm được: - Với \( m = 0 \): \[ y''(1) = 6 - 6(0) = 6 > 0 \] (không thỏa mãn) - Với \( m = 2 \): \[ y''(1) = 6 - 6(2) = 6 - 12 = -6 < 0 \] (thỏa mãn) Vậy giá trị của \( m \) để hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \) là \( m = 2 \). Đáp án đúng là: \( B.~m=2 \). Câu 43: Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm \( x = -1 \), ta cần kiểm tra hai điều kiện: 1. Đạo hàm bậc nhất tại \( x = -1 \) bằng 0. 2. Đạo hàm bậc hai tại \( x = -1 \) lớn hơn 0. Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất \( y' \): \[ y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 5 \] \[ y' = x^2 - 2mx + (m^2 - 4) \] Bước 2: Thay \( x = -1 \) vào \( y' \) và yêu cầu \( y'(-1) = 0 \): \[ y'(-1) = (-1)^2 - 2m(-1) + (m^2 - 4) = 0 \] \[ 1 + 2m + m^2 - 4 = 0 \] \[ m^2 + 2m - 3 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai \( m^2 + 2m - 3 = 0 \): \[ m^2 + 2m - 3 = 0 \] \[ (m + 3)(m - 1) = 0 \] \[ m = -3 \text{ hoặc } m = 1 \] Bước 4: Tính đạo hàm bậc hai \( y'' \): \[ y'' = 2x - 2m \] Bước 5: Thay \( x = -1 \) vào \( y'' \) và yêu cầu \( y''(-1) > 0 \): \[ y''(-1) = 2(-1) - 2m = -2 - 2m \] \[ -2 - 2m > 0 \] \[ -2m > 2 \] \[ m < -1 \] Bước 6: Kiểm tra các giá trị \( m \) đã tìm được: - Với \( m = -3 \): \[ y''(-1) = -2 - 2(-3) = -2 + 6 = 4 > 0 \] Điều này thỏa mãn điều kiện \( y''(-1) > 0 \). - Với \( m = 1 \): \[ y''(-1) = -2 - 2(1) = -2 - 2 = -4 < 0 \] Điều này không thỏa mãn điều kiện \( y''(-1) > 0 \). Vậy, giá trị của \( m \) để hàm số đạt cực tiểu tại điểm \( x = -1 \) là \( m = -3 \). Đáp án đúng là: \( B.~m=-3 \). Câu 44: Để hàm số \( y = 4x^3 + mx^2 - 12x \) đạt cực tiểu tại điểm \( x = -2 \), ta cần kiểm tra hai điều kiện: 1. Đạo hàm bậc nhất \( y' \) bằng 0 tại \( x = -2 \). 2. Đạo hàm bậc hai \( y'' \) lớn hơn 0 tại \( x = -2 \). Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(4x^3 + mx^2 - 12x) = 12x^2 + 2mx - 12 \] Bước 2: Thay \( x = -2 \) vào \( y' \) và yêu cầu \( y'(-2) = 0 \): \[ y'(-2) = 12(-2)^2 + 2m(-2) - 12 = 12(4) - 4m - 12 = 48 - 4m - 12 = 36 - 4m \] \[ 36 - 4m = 0 \] \[ 4m = 36 \] \[ m = 9 \] Bước 3: Tính đạo hàm bậc hai \( y'' \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(12x^2 + 2mx - 12) = 24x + 2m \] Bước 4: Thay \( x = -2 \) vào \( y'' \) và yêu cầu \( y''(-2) > 0 \): \[ y''(-2) = 24(-2) + 2m = -48 + 2m \] \[ -48 + 2m > 0 \] \[ 2m > 48 \] \[ m > 24 \] Như vậy, để hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -2 \), \( m \) phải thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Tuy nhiên, từ bước 2 ta đã tìm được \( m = 9 \), nhưng từ bước 4 ta thấy \( m \) phải lớn hơn 24. Điều này mâu thuẫn, do đó không có giá trị nào của \( m \) thỏa mãn cả hai điều kiện. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~\text{Không có } m. \] Câu 45: Để tìm giá trị thực của tham số \( a \) sao cho hàm số \( y = ax^3 - ax^2 + 1 \) có điểm cực tiểu tại \( x = \frac{2}{3} \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(ax^3 - ax^2 + 1) = 3ax^2 - 2ax \] 2. Điều kiện để hàm số có điểm cực tiểu tại \( x = \frac{2}{3} \): - Đạo hàm bậc nhất tại \( x = \frac{2}{3} \) phải bằng 0: \[ y'\left(\frac{2}{3}\right) = 3a\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 2a\left(\frac{2}{3}\right) = 0 \] \[ 3a \cdot \frac{4}{9} - 2a \cdot \frac{2}{3} = 0 \] \[ \frac{12a}{9} - \frac{4a}{3} = 0 \] \[ \frac{4a}{3} - \frac{4a}{3} = 0 \] \[ 0 = 0 \] Điều này cho thấy \( x = \frac{2}{3} \) là một điểm dừng của hàm số. 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3ax^2 - 2ax) = 6ax - 2a \] 4. Điều kiện để hàm số có điểm cực tiểu tại \( x = \frac{2}{3} \): - Đạo hàm bậc hai tại \( x = \frac{2}{3} \) phải dương: \[ y''\left(\frac{2}{3}\right) > 0 \] \[ 6a \left(\frac{2}{3}\right) - 2a > 0 \] \[ 4a - 2a > 0 \] \[ 2a > 0 \] \[ a > 0 \] Vậy, giá trị thực của tham số \( a \) để hàm số \( y = ax^3 - ax^2 + 1 \) có điểm cực tiểu tại \( x = \frac{2}{3} \) là \( a > 0 \). Đáp án đúng là: \( B.~a > 0 \). Câu 46: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x - m^3 + m \). 2. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị \( x_1 \) và \( x_2 \). 3. Sử dụng điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 7 \) để tìm giá trị của tham số \( m \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1) \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 2mx + (m^2 - 1) = 0 \] Phương trình này có nghiệm: \[ x = \frac{2m \pm \sqrt{(2m)^2 - 4(m^2 - 1)}}{2} \] \[ x = \frac{2m \pm \sqrt{4m^2 - 4m^2 + 4}}{2} \] \[ x = \frac{2m \pm 2}{2} \] \[ x = m \pm 1 \] Vậy các điểm cực trị là: \[ x_1 = m + 1 \] \[ x_2 = m - 1 \] Bước 3: Sử dụng điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 7 \): \[ (m + 1)^2 + (m - 1)^2 - (m + 1)(m - 1) = 7 \] \[ (m^2 + 2m + 1) + (m^2 - 2m + 1) - (m^2 - 1) = 7 \] \[ m^2 + 2m + 1 + m^2 - 2m + 1 - m^2 + 1 = 7 \] \[ m^2 + 3 = 7 \] \[ m^2 = 4 \] \[ m = \pm 2 \] Vậy giá trị của tham số \( m \) là: \[ m = \pm 2 \] Đáp án đúng là: \[ D.~m = \pm 2 \] Câu 47: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = 4x^3 + mx^2 - 3x \). 2. Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( y' = 0 \). 3. Sử dụng điều kiện \( x_1 + 4x_2 = 0 \) để tìm giá trị của tham số \( m \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = 4x^3 + mx^2 - 3x \] \[ y' = 12x^2 + 2mx - 3 \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 12x^2 + 2mx - 3 = 0 \] Phương trình bậc hai này có nghiệm: \[ x = \frac{-2m \pm \sqrt{(2m)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3)}}{2 \cdot 12} \] \[ x = \frac{-2m \pm \sqrt{4m^2 + 144}}{24} \] \[ x = \frac{-2m \pm \sqrt{4(m^2 + 36)}}{24} \] \[ x = \frac{-2m \pm 2\sqrt{m^2 + 36}}{24} \] \[ x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 + 36}}{12} \] Vậy các điểm cực trị là: \[ x_1 = \frac{-m + \sqrt{m^2 + 36}}{12} \] \[ x_2 = \frac{-m - \sqrt{m^2 + 36}}{12} \] Bước 3: Sử dụng điều kiện \( x_1 + 4x_2 = 0 \): \[ \frac{-m + \sqrt{m^2 + 36}}{12} + 4 \left( \frac{-m - \sqrt{m^2 + 36}}{12} \right) = 0 \] \[ \frac{-m + \sqrt{m^2 + 36} - 4m - 4\sqrt{m^2 + 36}}{12} = 0 \] \[ \frac{-5m - 3\sqrt{m^2 + 36}}{12} = 0 \] \[ -5m - 3\sqrt{m^2 + 36} = 0 \] \[ -5m = 3\sqrt{m^2 + 36} \] \[ 25m^2 = 9(m^2 + 36) \] \[ 25m^2 = 9m^2 + 324 \] \[ 16m^2 = 324 \] \[ m^2 = \frac{324}{16} \] \[ m^2 = \frac{81}{4} \] \[ m = \pm \frac{9}{2} \] Vậy giá trị của tham số \( m \) là: \[ m = \pm \frac{9}{2} \] Đáp án đúng là: \[ A.~m = \pm \frac{9}{2} \] Câu 48: Để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x + m \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x + m) = 3x^2 - 6x - 9 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Từ đó, ta có: \[ x_1 = 3 \quad \text{và} \quad x_2 = -1 \] 3. Tìm tọa độ các điểm cực trị: Thay \( x_1 = 3 \) vào hàm số ban đầu: \[ y(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + m = 27 - 27 - 27 + m = -27 + m \] Thay \( x_2 = -1 \) vào hàm số ban đầu: \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + m = -1 - 3 + 9 + m = 5 + m \] 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \( (3, -27 + m) \) và \( (-1, 5 + m) \): - Tìm hệ số góc \( k \): \[ k = \frac{(5 + m) - (-27 + m)}{-1 - 3} = \frac{5 + m + 27 - m}{-4} = \frac{32}{-4} = -8 \] - Phương trình đường thẳng có dạng \( y = kx + b \). Ta đã biết \( k = -8 \), nên: \[ y = -8x + b \] - Thay tọa độ một trong hai điểm cực trị vào phương trình để tìm \( b \): \[ -27 + m = -8(3) + b \implies -27 + m = -24 + b \implies b = -27 + m + 24 = -3 + m \] 5. Phương trình đường thẳng cuối cùng: \[ y = -8x - 3 + m \] Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: \[ \boxed{y = -8x - 3 + m} \]