Một sợi dây có chiều dài là 6m được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng di...

Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài cạnh của hình tam giác đều sao cho tổng diện tích của hình tam giác và hình vuông là nhỏ nhất. Gọi \( x \) là độ dài cạnh của hình tam giác đều. Khi đó, chu vi của hình tam giác đều là \( 3x \). Phần còn lại của sợi dây sẽ được dùng để tạo thành hình vuông, do đó độ dài cạnh của hình vuông là \( \frac{6 - 3x}{4} \). Điều kiện xác định: - \( 3x \leq 6 \) (vì tổng chiều dài sợi dây là 6m) - \( x \geq 0 \) Từ đó, ta có \( 0 \leq x \leq 2 \). Diện tích của các hình: 1. Diện tích của hình tam giác đều là: \[ A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \] 2. Diện tích của hình vuông là: \[ A_2 = \left(\frac{6 - 3x}{4}\right)^2 \] Tổng diện tích: \[ A = A_1 + A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 + \left(\frac{6 - 3x}{4}\right)^2 \] Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \): Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: \[ A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 + \frac{(6 - 3x)^2}{16} \] Tính đạo hàm của \( A(x) \): \[ A'(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} x - \frac{3(6 - 3x)}{8} \] Giải phương trình \( A'(x) = 0 \): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} x - \frac{3(6 - 3x)}{8} = 0 \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} x = \frac{18 - 9x}{8} \] \[ 4\sqrt{3} x = 18 - 9x \] \[ 4\sqrt{3} x + 9x = 18 \] \[ x(4\sqrt{3} + 9) = 18 \] \[ x = \frac{18}{4\sqrt{3} + 9} \] Tính giá trị này và kiểm tra trong khoảng \( 0 \leq x \leq 2 \). Sau khi tính toán, ta tìm được giá trị \( x \) sao cho \( A(x) \) nhỏ nhất. Đó là độ dài cạnh của hình tam giác đều cần tìm.