Giúp toii vs

Câu 24: Bài 24. Ta có: \[ P = 3\sin^2 x + 4\cos^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x) + \cos^2 x = 3 + \cos^2 x = 3 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{13}{4} \] Bài 25. Ta có: \[ (\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2\sin a \cos a + \cos^2 a = 1 + 2\sin a \cos a = 2 \] Suy ra: \[ \sin a \cos a = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 - 2\sin^2 a \cos^2 a = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \] Câu 26: Để tính giá trị của biểu thức \( B = \frac{\sin^2 \alpha + 1}{2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \) khi biết \( \tan \alpha = 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định mối quan hệ giữa \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) từ \(\tan \alpha = 1\): \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 1 \implies \sin \alpha = \cos \alpha \] 2. Thay \(\sin \alpha = \cos \alpha\) vào biểu thức \(B\): \[ B = \frac{\sin^2 \alpha + 1}{2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \] Thay \(\sin \alpha = \cos \alpha\) vào, ta có: \[ B = \frac{\cos^2 \alpha + 1}{2 \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha} \] 3. Rút gọn biểu thức: \[ B = \frac{\cos^2 \alpha + 1}{\cos^2 \alpha} \] Ta có thể tách thành hai phần: \[ B = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] 4. Sử dụng công thức Pythagoras: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Vì \(\sin \alpha = \cos \alpha\), nên: \[ \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies 2 \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \] 5. Thay \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{2}\) vào biểu thức \(B\): \[ B = 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 + 2 = 3 \] Vậy giá trị của \( B \) là: \[ \boxed{3} \] Câu 27: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha} \) khi biết \( \cot \alpha = 4 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi biểu thức \( P \): \[ P = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha} \] Ta có thể tách thành hai phần: \[ P = \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \] \[ P = 1 + \cot \alpha \] 2. Thay giá trị của \( \cot \alpha \): Vì \( \cot \alpha = 4 \), nên: \[ P = 1 + 4 \] \[ P = 5 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( 5 \). Đáp số: \( 5 \). Câu 28: Để tính giá trị của biểu thức \( P = 3\sin^2 x + 4\cos^2 x \) khi biết \( \cos x = \frac{1}{2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(\sin^2 x\): - Ta biết rằng \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). - Thay giá trị \( \cos x = \frac{1}{2} \) vào công thức trên: \[ \sin^2 x + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 x + \frac{1}{4} = 1 \] \[ \sin^2 x = 1 - \frac{1}{4} \] \[ \sin^2 x = \frac{3}{4} \] 2. Thay giá trị của \(\sin^2 x\) và \(\cos^2 x\) vào biểu thức \(P\): - Biểu thức \( P \) là: \[ P = 3\sin^2 x + 4\cos^2 x \] - Thay \( \sin^2 x = \frac{3}{4} \) và \( \cos^2 x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \): \[ P = 3 \left( \frac{3}{4} \right) + 4 \left( \frac{1}{4} \right) \] \[ P = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} \] \[ P = \frac{9}{4} + 1 \] \[ P = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} \] \[ P = \frac{13}{4} \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ \boxed{\frac{13}{4}} \] Câu 29: Để tính giá trị của \( A = \frac{\tan\alpha - 3\cot\alpha}{\tan\alpha + \cot\alpha} \) khi biết \( \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{4} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \( \sin\alpha \): Ta có \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \). Thay giá trị \( \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{4} \) vào, ta có: \[ \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 + \sin^2\alpha = 1 \] \[ \frac{2}{16} + \sin^2\alpha = 1 \] \[ \frac{1}{8} + \sin^2\alpha = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{8} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{7}{8} \] \[ \sin\alpha = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{14}}{4} \] 2. Tìm giá trị của \( \tan\alpha \) và \( \cot\alpha \): \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{14}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = \sqrt{7} \] \[ \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{\sqrt{7}} \] 3. Thay giá trị của \( \tan\alpha \) và \( \cot\alpha \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{\tan\alpha - 3\cot\alpha}{\tan\alpha + \cot\alpha} \] \[ A = \frac{\sqrt{7} - 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}}{\sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}}} \] \[ A = \frac{\sqrt{7} - \frac{3}{\sqrt{7}}}{\sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}}} \] \[ A = \frac{\frac{7 - 3}{\sqrt{7}}}{\frac{7 + 1}{\sqrt{7}}} \] \[ A = \frac{\frac{4}{\sqrt{7}}}{\frac{8}{\sqrt{7}}} \] \[ A = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] Vậy giá trị của \( A \) là \( \frac{1}{2} \). Đáp số: \( \frac{1}{2} \) Câu 30: Ta có: \[ \sin\alpha + \cos\alpha = a \] Bình phương hai vế, ta được: \[ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = a^2 \] \[ \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = a^2 \] Sử dụng công thức \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), ta có: \[ 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = a^2 \] \[ 2\sin\alpha\cos\alpha = a^2 - 1 \] \[ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{a^2 - 1}{2} \] So sánh với yêu cầu đề bài, ta thấy rằng \(m = 1\) và \(n = 2\). Do đó: \[ m - n = 1 - 2 = -1 \] Đáp số: \(-1\) Câu 31: Ta có $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$ suy ra $2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 - 1 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 - 1 = -\frac{24}{25}$. Do đó $(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - 2 \sin x \cos x = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}$. Suy ra $|\sin x - \cos x| = \frac{7}{5}$. Câu 32: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số công thức lượng giác cơ bản và tính toán từng bước một. Trước tiên, ta có điều kiện: \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Điều này có nghĩa là \(\beta = 90^\circ - \alpha\). Sử dụng công thức lượng giác cơ bản, ta có: \[ \sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha \] Bây giờ, ta thay vào biểu thức \(T\): \[ T = \sin^6 \alpha + \sin^6 \beta + 3\sin^2 \alpha \sin^2 \beta \] Thay \(\sin \beta = \cos \alpha\) vào, ta được: \[ T = \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \] Sử dụng công thức \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), ta có: \[ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 \] Áp dụng hằng đẳng thức: \[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \] với \(a = \sin^2 \alpha\) và \(b = \cos^2 \alpha\), ta có: \[ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)((\sin^2 \alpha)^2 - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + (\cos^2 \alpha)^2) \] Do \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), ta có: \[ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + (\cos^2 \alpha)^2 \] Tính tiếp: \[ (\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2 = \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \] Sử dụng hằng đẳng thức: \[ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \] Do đó: \[ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \] Thay vào biểu thức \(T\): \[ T = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức \(T\) là \(1\). Câu 33: Để tính giá trị của biểu thức \( D = \cos 1^\circ + \cos 2^\circ + \cos 3^\circ + \ldots + \cos 180^\circ \), chúng ta sẽ sử dụng tính chất đối xứng của các giá trị cosin trong khoảng từ \( 0^\circ \) đến \( 180^\circ \). 1. Nhận xét tính chất đối xứng: - Ta biết rằng \( \cos(180^\circ - x) = -\cos x \). Điều này có nghĩa là các giá trị cosin của các góc đối xứng qua \( 90^\circ \) sẽ triệt tiêu lẫn nhau. 2. Phân chia các cặp góc đối xứng: - Các cặp góc đối xứng qua \( 90^\circ \) là: \[ (\cos 1^\circ, \cos 179^\circ), (\cos 2^\circ, \cos 178^\circ), \ldots, (\cos 89^\circ, \cos 91^\circ) \] - Mỗi cặp này có tổng bằng 0 vì \( \cos(180^\circ - x) = -\cos x \). 3. Các giá trị còn lại: - Ngoài ra, còn có \( \cos 90^\circ = 0 \) và \( \cos 180^\circ = -1 \). 4. Tổng hợp các giá trị: - Tổng của tất cả các cặp đối xứng là 0. - Cộng thêm \( \cos 90^\circ = 0 \) và \( \cos 180^\circ = -1 \): \[ D = 0 + 0 + (-1) = -1 \] Vậy giá trị của biểu thức \( D \) là: \[ \boxed{-1} \]