giải bài tập

Câu 24: Để tìm cực tiểu của hàm số \( y = \frac{x^3 + 3}{x + 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{x^3 + 3}{x + 1} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x^3 + 3)'(x + 1) - (x^3 + 3)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (x^3 + 3)' = 3x^2 \] \[ (x + 1)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{3x^2(x + 1) - (x^3 + 3)}{(x + 1)^2} \] Rút gọn tử số: \[ y' = \frac{3x^3 + 3x^2 - x^3 - 3}{(x + 1)^2} = \frac{2x^3 + 3x^2 - 3}{(x + 1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ \frac{2x^3 + 3x^2 - 3}{(x + 1)^2} = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ 2x^3 + 3x^2 - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc ba này: \[ 2x^3 + 3x^2 - 3 = 0 \] Ta thử nghiệm nghiệm \( x = 1 \): \[ 2(1)^3 + 3(1)^2 - 3 = 2 + 3 - 3 = 2 \neq 0 \] Ta thử nghiệm nghiệm \( x = -1 \): \[ 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 3 = -2 + 3 - 3 = -2 \neq 0 \] Ta thử nghiệm nghiệm \( x = 0 \): \[ 2(0)^3 + 3(0)^2 - 3 = -3 \neq 0 \] Ta thử nghiệm nghiệm \( x = -\frac{3}{2} \): \[ 2\left(-\frac{3}{2}\right)^3 + 3\left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 3 = 2\left(-\frac{27}{8}\right) + 3\left(\frac{9}{4}\right) - 3 = -\frac{27}{4} + \frac{27}{4} - 3 = -3 \] Vậy \( x = -\frac{3}{2} \) là nghiệm của phương trình. 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn: Ta kiểm tra dấu của \( y' \) trước và sau \( x = -\frac{3}{2} \). - Khi \( x < -\frac{3}{2} \): \[ y' > 0 \] - Khi \( x > -\frac{3}{2} \): \[ y' < 0 \] Do đó, \( x = -\frac{3}{2} \) là điểm cực đại. 4. Tính giá trị của hàm số tại \( x = -\frac{3}{2} \): \[ y\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{\left(-\frac{3}{2}\right)^3 + 3}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{27}{8} + 3}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{27}{8} + \frac{24}{8}}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{3}{8}}{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{4} \] Vậy, cực tiểu của hàm số là \( \frac{3}{4} \). Do đó, đáp án đúng là: B. Cực tiểu của hàm số bằng 1. Câu 25: Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( y = -x^3 + 3x - 4 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x - 4) = -3x^2 + 3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -3x^2 + 3 = 0 \] \[ -3x^2 = -3 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn: - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = -(1)^3 + 3(1) - 4 = -1 + 3 - 4 = -2 \] - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) - 4 = 1 - 3 - 4 = -6 \] 4. Xác định giá trị cực tiểu: So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn: \[ y(1) = -2 \quad \text{và} \quad y(-1) = -6 \] Vì \( -6 < -2 \), nên giá trị cực tiểu của hàm số là \( y_{\text{cr}} = -6 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~y_{CT}=-6} \] Câu 26: Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 \] 4. Thay các điểm tới hạn vào đạo hàm bậc hai để kiểm tra tính chất của các điểm này: - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 \] Điều này cho thấy \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \): \[ y''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0 \] Điều này cho thấy \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. 5. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu \( x = 2 \): \[ y(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \] Vậy giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) là: \[ y_{CT} = 0 \] Đáp án đúng là: \[ A.~y_{CT}=0 \] Câu 27: Để tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = x^4 - x^2 + 1 \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - x^2 + 1) = 4x^3 - 2x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các giá trị của \( x \) tại đó hàm số có thể có cực trị: \[ 4x^3 - 2x = 0 \] Ta có thể nhân chung \( 2x \): \[ 2x(2x^2 - 1) = 0 \] Từ đây suy ra: \[ 2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 - 1 = 0 \] Giải các phương trình này: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] 3. Xác định các điểm cực trị: Các giá trị của \( x \) đã tìm được là \( x = 0 \), \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \), và \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm này: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1 \] - Tại \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1 = \left(\frac{2}{4}\right)^2 - \frac{2}{4} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4} \] - Tại \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ y\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1 = \left(\frac{2}{4}\right)^2 - \frac{2}{4} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4} \] 5. Kiểm tra các giá trị của \( y \) để xác định các điểm cực trị có tung độ là số dương: - \( y(0) = 1 \) (số dương) - \( y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3}{4} \) (số dương) - \( y\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3}{4} \) (số dương) Vậy, đồ thị hàm số \( y = x^4 - x^2 + 1 \) có 3 điểm cực trị có tung độ là số dương. Đáp án đúng là: A. 3 Câu 28: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho không có cực trị, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một cách cụ thể. A. \( y = \frac{x^2 + 1}{x} \) Điều kiện xác định: \( x \neq 0 \). Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{(2x)x - (x^2 + 1)}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2}. \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2} = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1. \] Do đó, hàm số này có hai điểm cực trị tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \). B. \( y = \frac{2x - 2}{x + 1} \) Điều kiện xác định: \( x \neq -1 \). Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{(2)(x + 1) - (2x - 2)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 2}{(x + 1)^2} = \frac{4}{(x + 1)^2}. \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{4}{(x + 1)^2} = 0 \] Phương trình này vô nghiệm vì tử số luôn khác 0. Do đó, hàm số này không có cực trị. C. \( y = x^2 - 2x + 1 \) Tìm đạo hàm: \[ y' = 2x - 2. \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 2x - 2 = 0 \] \[ x = 1. \] Do đó, hàm số này có một điểm cực trị tại \( x = 1 \). D. \( y = -x^3 + x + 1 \) Tìm đạo hàm: \[ y' = -3x^2 + 1. \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 1 = 0 \] \[ 3x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{3} \] \[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}. \] Do đó, hàm số này có hai điểm cực trị tại \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) và \( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \). Kết luận Hàm số không có cực trị là: \[ \boxed{B.~y=\frac{2x-2}{x+1}} \] Câu 29: Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 2) = 3x^2 - 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 2 = -2 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 3(2)^2 - 2 = 8 - 12 - 2 = -6 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để xác định giá trị cực đại: - Giá trị của hàm số tại \( x = 0 \) là \( -2 \). - Giá trị của hàm số tại \( x = 2 \) là \( -6 \). Vì \( -2 > -6 \), nên giá trị cực đại của hàm số là \( -2 \). Do đó, giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \) là: \[ \boxed{-2} \] Câu 30: Để tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \( y = -x^3 + x^2 + 5x - 5 \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của hàm số \( y = -x^3 + x^2 + 5x - 5 \) là: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + x^2 + 5x - 5) = -3x^2 + 2x + 5 \] 2. Tìm các điểm tới hạn: Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 2x + 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này, ta có: \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 5 = 4 + 60 = 64 \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2 \pm 8}{-6} \] \[ x_1 = \frac{-2 + 8}{-6} = -1, \quad x_2 = \frac{-2 - 8}{-6} = \frac{5}{3} \] 3. Xác định loại cực trị: Tính đạo hàm bậc hai \( y'' \) để xác định loại cực trị: \[ y'' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 2x + 5) = -6x + 2 \] - Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = -6(-1) + 2 = 6 + 2 = 8 > 0 \] Vậy tại \( x = -1 \), hàm số đạt cực tiểu. - Tại \( x = \frac{5}{3} \): \[ y''\left(\frac{5}{3}\right) = -6\left(\frac{5}{3}\right) + 2 = -10 + 2 = -8 < 0 \] Vậy tại \( x = \frac{5}{3} \), hàm số đạt cực đại. 4. Tính giá trị cực tiểu: Giá trị cực tiểu tại \( x = -1 \) là: \[ y(-1) = -(-1)^3 + (-1)^2 + 5(-1) - 5 = 1 + 1 - 5 - 5 = -8 \] Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \((-1; -8)\). Đáp án đúng là A. \((-1; -8)\). Câu 1: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \), ta cần phân tích bảng biến thiên đã cho. a) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-5;2)\) - Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \( y' > 0 \) trên khoảng \((-5;0)\) và \( y' < 0 \) trên khoảng \((0;2)\). - Do đó, hàm số không đồng biến trên khoảng \((-5;2)\). b) Hàm số có bốn điểm cực trị - Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có các điểm cực trị tại \( x = 0 \) và \( x = 2 \). - Tại \( x = 0 \), \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \), \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. - Như vậy, hàm số chỉ có hai điểm cực trị, không phải bốn. c) Hàm số đạt cực tiểu tại \( x=2 \) - Như đã phân tích ở trên, tại \( x = 2 \), \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 2 \). - Giá trị cực tiểu là \( y = -5 \). d) Hàm số có một cực đại - Như đã phân tích, hàm số có một điểm cực đại tại \( x = 0 \). - Giá trị cực đại là \( y = 4 \). Tóm lại: - Câu a) Sai. - Câu b) Sai. - Câu c) Đúng. - Câu d) Đúng. Câu 2: Để giải quyết các câu hỏi dựa trên bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \), ta phân tích như sau: a) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (0; +\infty) \) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: - Trên khoảng \( (2; +\infty) \), \( y' > 0 \), do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. Vậy, khẳng định a) là đúng. b) Hàm số có ba điểm cực trị Dựa vào bảng biến thiên: - Tại \( x = -2 \) và \( x = 2 \), \( y' = 0 \) và có sự thay đổi dấu của \( y' \), do đó có hai điểm cực trị. - Không có điểm nào khác ngoài hai điểm này. Vậy, khẳng định b) là sai. c) Hàm số có \( y_{CD} = 3 \) và \( y_{CT} = 0 \) Dựa vào bảng biến thiên: - Giá trị cực đại \( y_{CD} = 3 \) tại \( x = -2 \). - Giá trị cực tiểu \( y_{CT} = 0 \) tại \( x = 2 \). Vậy, khẳng định c) là đúng. d) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng \( 2x + 2y - 4 = 0 \) Điểm cực tiểu là \( (2, 0) \). Kiểm tra xem điểm này có thuộc đường thẳng \( 2x + 2y - 4 = 0 \) hay không: \[ 2(2) + 2(0) - 4 = 4 + 0 - 4 = 0 \] Điều này đúng, nên điểm cực tiểu thuộc đường thẳng. Vậy, khẳng định d) là đúng.