Câu $\rm 6.$ Câu 6. Trên đoạn $[0;2\pi],$ phương trình $\sqrt2\cos(x+\frac\pi3)=1$ có bao nhiêu nghiệm?

Question

Accepted Answer

Câu 6:
Để giải phương trình $\sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$ trên đoạn $[0; 2\pi]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Chia cả hai vế cho $\sqrt{2}$:
   $$
   \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
   $$

2. Xác định các giá trị của $x + \frac{\pi}{3}$ sao cho $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
   $$
   x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + k2\pi
   $$
   trong đó $k$ là số nguyên.

3. Giải các phương trình trên để tìm $x$:
   $$
   x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \implies x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + k2\pi = -\frac{\pi}{12} + k2\pi
   $$
   $$
   x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + k2\pi = -\frac{7\pi}{12} + k2\pi
   $$

4. Kiểm tra các giá trị của $x$ trong khoảng $[0; 2\pi]$:
   - Đối với $x = -\frac{\pi}{12} + k2\pi$:
     $$
     0 \leq -\frac{\pi}{12} + k2\pi \leq 2\pi
     $$
     Giải bất phương trình này:
     $$
     \frac{\pi}{12} \leq k2\pi \leq \frac{25\pi}{12}
     $$
     Chia cả hai vế cho $2\pi$:
     $$
     \frac{1}{24} \leq k \leq \frac{25}{24}
     $$
     Vì $k$ là số nguyên, nên $k = 0$ hoặc $k = 1$.

- Khi $k = 0$:
       $$
       x = -\frac{\pi}{12}
       $$
       (không nằm trong khoảng $[0; 2\pi]$).

- Khi $k = 1$:
       $$
       x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{23\pi}{12}
       $$
       (nằm trong khoảng $[0; 2\pi]$).

- Đối với $x = -\frac{7\pi}{12} + k2\pi$:
     $$
     0 \leq -\frac{7\pi}{12} + k2\pi \leq 2\pi
     $$
     Giải bất phương trình này:
     $$
     \frac{7\pi}{12} \leq k2\pi \leq \frac{31\pi}{12}
     $$
     Chia cả hai vế cho $2\pi$:
     $$
     \frac{7}{24} \leq k \leq \frac{31}{24}
     $$
     Vì $k$ là số nguyên, nên $k = 0$ hoặc $k = 1$.

- Khi $k = 0$:
       $$
       x = -\frac{7\pi}{12}
       $$
       (không nằm trong khoảng $[0; 2\pi]$).

- Khi $k = 1$:
       $$
       x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi = \frac{17\pi}{12}
       $$
       (nằm trong khoảng $[0; 2\pi]$).

5. Kết luận:
   Các nghiệm của phương trình $\sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ là:
   $$
   x = \frac{23\pi}{12} \quad \text{và} \quad x = \frac{17\pi}{12}
   $$

Vậy phương trình có 2 nghiệm trên đoạn $[0; 2\pi]$.