giải bt chính xác

Câu 10: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng mệnh đề dựa trên các công thức lượng giác và tính chất của các góc. 1. Mệnh đề A: \(\sin(\alpha + \pi) < 0\) Sử dụng công thức lượng giác: \[ \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) \] Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), nên \(\sin(\alpha) > 0\). Do đó, \(-\sin(\alpha) < 0\). Vậy mệnh đề A là đúng. 2. Mệnh đề B: \(\cos(\alpha + \pi) > 0\) Sử dụng công thức lượng giác: \[ \cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha) \] Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), nên \(\cos(\alpha) > 0\). Do đó, \(-\cos(\alpha) < 0\). Vậy mệnh đề B là sai. 3. Mệnh đề C: \(\tan(\pi - \alpha) > 0\) Sử dụng công thức lượng giác: \[ \tan(\pi - \alpha) = -\tan(\alpha) \] Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), nên \(\tan(\alpha) > 0\). Do đó, \(-\tan(\alpha) < 0\). Vậy mệnh đề C là sai. 4. Mệnh đề D: \(\cot(\pi - \alpha) < 0\) Sử dụng công thức lượng giác: \[ \cot(\pi - \alpha) = -\cot(\alpha) \] Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), nên \(\cot(\alpha) > 0\). Do đó, \(-\cot(\alpha) < 0\). Vậy mệnh đề D là đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề B. Câu 11: Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm ra đẳng thức đúng. A. $\cos 150^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - Ta biết rằng $\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ - Vậy $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên đáp án A sai. B. $\cot 150^\circ = \sqrt{3}$ - Ta biết rằng $\cot 150^\circ = \cot (180^\circ - 30^\circ) = -\cot 30^\circ = -\frac{1}{\tan 30^\circ} = -\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = -\sqrt{3}$ - Vậy $\cot 150^\circ = -\sqrt{3}$, nên đáp án B sai. C. $\tan 150^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ - Ta biết rằng $\tan 150^\circ = \tan (180^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ - Vậy $\tan 150^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên đáp án C đúng. D. $\sin 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ - Ta biết rằng $\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ - Vậy $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$, nên đáp án D sai. Vậy đáp án đúng là: C. $\tan 150^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ Câu 12: Để tìm giá trị của \(\tan \frac{\pi}{6}\), chúng ta cần nhớ lại công thức lượng giác cơ bản cho góc \(\frac{\pi}{6}\). Góc \(\frac{\pi}{6}\) tương ứng với \(30^\circ\) trong hệ độ. Ta có các giá trị lượng giác cơ bản cho góc này như sau: - \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) - \(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) Công thức tính \(\tan\) của một góc là: \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \] Áp dụng công thức này cho \(\theta = \frac{\pi}{6}\): \[ \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sin \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] Khi thực hiện phép chia phân số, ta có: \[ \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Để biểu diễn dưới dạng phân số có mẫu số là số nguyên, ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3}\): \[ \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Vậy, giá trị của \(\tan \frac{\pi}{6}\) là \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~\frac{\sqrt{3}}{3}\). Câu 1: a) Ta có: \[ A = \frac{1}{\sqrt{3}} \cos 30^\circ - 3\sqrt{2} \sin 45^\circ + \cot 45^\circ \] Biết rằng: \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cot 45^\circ = 1 \] Thay vào biểu thức ta có: \[ A = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \] \[ A = \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2} + 1 \] \[ A = \frac{1}{2} - 3 + 1 \] \[ A = \frac{1}{2} - 2 \] \[ A = -\frac{3}{2} \] Vậy \( A = -\frac{3}{2} \). b) Ta có: \[ B = \sin^2 60^\circ + \tan^2 30^\circ - 2 \] Biết rằng: \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Thay vào biểu thức ta có: \[ B = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 - 2 \] \[ B = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} - 2 \] Quy đồng mẫu số chung: \[ B = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} - 2 \] \[ B = \frac{13}{12} - 2 \] \[ B = \frac{13}{12} - \frac{24}{12} \] \[ B = -\frac{11}{12} \] Vậy \( B = -\frac{11}{12} \). c) Ta có: \[ C = 2 \sin \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} \cos \frac{\pi}{6} \] Biết rằng: \[ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thay vào biểu thức ta có: \[ C = 2 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ C = 1 + \frac{3}{2} \] \[ C = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \] \[ C = \frac{5}{2} \] Vậy \( C = \frac{5}{2} \). d) Ta có: \[ D = \frac{\tan \frac{\pi}{4} + 1}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cot \frac{\pi}{2} - 2} \] Biết rằng: \[ \tan \frac{\pi}{4} = 1, \quad \cot \frac{\pi}{2} = 0 \] Thay vào biểu thức ta có: \[ D = \frac{1 + 1}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 - 2} \] \[ D = \frac{2}{-2} \] \[ D = -1 \] Vậy \( D = -1 \). Câu 2: Để xét dấu của các biểu thức đã cho, ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và tính chất của các góc đặc biệt. Dưới đây là từng bước lập luận cho từng biểu thức: a) \( A = \sin(\alpha + 90^\circ) \) Sử dụng công thức cộng góc cho sin: \[ \sin(\alpha + 90^\circ) = \cos(\alpha) \] Vì \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \), nên \( \cos(\alpha) > 0 \). Do đó, \( A > 0 \). b) \( B = \cos(\alpha - 45^\circ) \) Sử dụng công thức cộng góc cho cos: \[ \cos(\alpha - 45^\circ) = \cos(\alpha)\cos(45^\circ) + \sin(\alpha)\sin(45^\circ) \] Vì \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \), nên \( \cos(\alpha) > 0 \) và \( \sin(\alpha) > 0 \). Đồng thời, \( \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 \). Do đó, \( B > 0 \). c) \( C = \tan(270^\circ - \alpha) \) Sử dụng công thức cho tan: \[ \tan(270^\circ - \alpha) = -\cot(\alpha) \] Vì \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \), nên \( \cot(\alpha) > 0 \). Do đó, \( -\cot(\alpha) < 0 \), suy ra \( C < 0 \). d) \( D = \cos(2\alpha + 90^\circ) \) Sử dụng công thức cộng góc cho cos: \[ \cos(2\alpha + 90^\circ) = -\sin(2\alpha) \] Vì \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \), nên \( 0^\circ < 2\alpha < 180^\circ \). Trong khoảng này, \( \sin(2\alpha) \geq 0 \) khi \( 0^\circ < 2\alpha \leq 90^\circ \) và \( \sin(2\alpha) < 0 \) khi \( 90^\circ < 2\alpha < 180^\circ \). Tuy nhiên, vì \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \), nên \( 0^\circ < 2\alpha < 180^\circ \) và không thể xác định chính xác dấu của \( \sin(2\alpha) \) mà không biết cụ thể giá trị của \( \alpha \). Do đó, không thể kết luận \( D > 0 \) hay \( D < 0 \) mà không có thêm thông tin về \( \alpha \). Tóm lại: - \( A > 0 \) - \( B > 0 \) - \( C < 0 \) - Không thể kết luận dấu của \( D \) chỉ với thông tin đã cho. Câu 3: Ta có: \(\tan x=-2\) suy ra \(\cot x=-\frac{1}{2}\) Do đó: \[A_1=\frac{5\cot x+4\tan x}{5\cot x-4\tan x}=\frac{-\frac{5}{2}-8}{-\frac{5}{2}+8}=\frac{-\frac{21}{2}}{\frac{11}{2}}=-\frac{21}{11}\] \[A_2=\frac{2\sin x+\cos x}{\cos x-3\sin x}=\frac{2\tan x+1}{1-3\tan x}=\frac{-4+1}{1+6}=-\frac{3}{7}\]