giải bài tập chính xác

Câu 1: Để đổi số đo góc từ độ sang rađian, ta sử dụng công thức chuyển đổi: \[ \text{Số đo góc (rađian)} = \text{Số đo góc (độ)} \times \frac{\pi}{180^\circ} \] Áp dụng công thức này cho góc $105^\circ$, ta có: \[ 105^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{105\pi}{180} \] Rút gọn phân số $\frac{105}{180}$: - Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 105 và 180. Ta có: - 105 = 3 \times 5 \times 7 - 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 ƯCLN của 105 và 180 là 15. - Chia cả tử và mẫu của phân số cho 15: \[ \frac{105}{180} = \frac{105 \div 15}{180 \div 15} = \frac{7}{12} \] Vậy số đo góc $105^\circ$ đổi sang rađian là $\frac{7\pi}{12}$. Do đó, đáp án đúng là $B.~\frac{7\pi}{12}$. Câu 3: Để đổi số đo góc từ độ sang rađian, ta sử dụng công thức chuyển đổi: \[ \text{Số đo rađian} = \text{Số đo độ} \times \frac{\pi}{180^\circ} \] Áp dụng công thức này cho góc $120^\circ$, ta có: \[ 120^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{120 \times \pi}{180} \] Rút gọn phân số: \[ \frac{120 \times \pi}{180} = \frac{2 \times 60 \times \pi}{3 \times 60} = \frac{2\pi}{3} \] Vậy, số đo rađian của góc $120^\circ$ là $\frac{2\pi}{3}$. Do đó, đáp án đúng là A. \(\frac{2\pi}{3}\). Câu 4: Để tìm số đo của góc chắn cung có độ dài 3 cm trên đường tròn có bán kính 6 cm, ta sử dụng công thức liên hệ giữa độ dài cung, bán kính và số đo góc chắn cung (tính bằng radian): \[ l = r \cdot \theta \] Trong đó: - \( l \) là độ dài cung. - \( r \) là bán kính của đường tròn. - \( \theta \) là số đo của góc chắn cung (tính bằng radian). Theo đề bài, ta có: - \( l = 3 \) cm. - \( r = 6 \) cm. Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ 3 = 6 \cdot \theta \] Giải phương trình này để tìm \( \theta \): \[ \theta = \frac{3}{6} = 0,5 \] Vậy số đo của góc chắn cung là \( 0,5 \) radian. Đáp án đúng là B. 0,5. Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần xác định số đo góc mà bánh xe đã quay khi di chuyển 10 răng. 1. Xác định số đo góc của một răng: Bánh xe có tổng cộng 72 răng. Khi bánh xe quay hết một vòng, nó quay được \(360^\circ\). Do đó, số đo góc tương ứng với một răng là: \[ \frac{360^\circ}{72} = 5^\circ \] 2. Tính số đo góc khi di chuyển 10 răng: Khi bánh xe di chuyển 10 răng, số đo góc mà bánh xe đã quay được là: \[ 10 \times 5^\circ = 50^\circ \] Vậy, số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là \(50^\circ\). Đáp án đúng là C. \(50^\circ\). Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tính số vòng quay của bánh xe trong 25 giây khi xe chạy với vận tốc 40 km/h. 1. Tính chu vi của bánh xe: Đường kính của bánh xe là 55 cm, do đó chu vi của bánh xe là: \[ C = \pi \times d = \pi \times 55 \, \text{cm} \] 2. Chuyển đổi vận tốc từ km/h sang cm/s: Vận tốc của xe là 40 km/h. Ta chuyển đổi vận tốc này sang cm/s: \[ 40 \, \text{km/h} = 40 \times 1000 \, \text{m/h} = 40000 \, \text{m/h} = 4000000 \, \text{cm/h} \] \[ \text{Vận tốc (cm/s)} = \frac{4000000}{3600} \approx 1111.11 \, \text{cm/s} \] 3. Tính quãng đường đi được trong 25 giây: Quãng đường đi được trong 25 giây là: \[ S = 1111.11 \times 25 \approx 27777.75 \, \text{cm} \] 4. Tính số vòng quay của bánh xe: Số vòng quay của bánh xe là quãng đường đi được chia cho chu vi của bánh xe: \[ \text{Số vòng quay} = \frac{S}{C} = \frac{27777.75}{\pi \times 55} \] \[ \approx \frac{27777.75}{172.787} \approx 160.75 \] 5. Kết luận: Số vòng quay của bánh xe trong 25 giây gần bằng 161 vòng. Do đó, đáp án đúng là B. 161. Câu 7: Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định để tìm ra khẳng định sai. A. $\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha$ - Ta biết rằng $\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha$ vì $\tan$ là hàm tuần hoàn với chu kỳ $\pi$. - Khẳng định này đúng. B. $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha$ - Ta biết rằng $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$ theo công thức lượng giác cơ bản. - Khẳng định này sai. C. $\cot(-\alpha) = -\cot \alpha$ - Ta biết rằng $\cot(-\alpha) = -\cot \alpha$ vì $\cot$ là hàm lẻ. - Khẳng định này đúng. D. $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ - Ta biết rằng $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ theo công thức lượng giác cơ bản. - Khẳng định này đúng. Vậy khẳng định sai là B. Đáp án: B. $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha$ Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định dấu của các hàm lượng giác trong khoảng \(2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}\). 1. Xác định khoảng của \(\alpha\): - Khoảng \(2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}\) tương đương với \(0 < \alpha - 2\pi < \frac{\pi}{2}\). - Điều này có nghĩa là \(\alpha\) nằm trong khoảng từ \(0\) đến \(\frac{\pi}{2}\) sau khi trừ đi \(2\pi\). 2. Xác định dấu của các hàm lượng giác trong khoảng \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\): - Trong khoảng \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\): - \(\sin \theta > 0\) - \(\cos \theta > 0\) - \(\tan \theta > 0\) - \(\cot \theta > 0\) 3. Áp dụng vào bài toán: - Vì \(\alpha\) nằm trong khoảng \(2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}\), tương đương với \(0 < \alpha - 2\pi < \frac{\pi}{2}\), nên: - \(\sin \alpha > 0\) - \(\cos \alpha > 0\) - \(\tan \alpha > 0\) - \(\cot \alpha > 0\) 4. Kiểm tra các khẳng định: - A. \(\tan \alpha < 0\): Sai vì \(\tan \alpha > 0\). - B. \(\cot \alpha > 0\): Đúng. - C. \(\sin \alpha > 0\): Đúng. - D. \(\cos \alpha > 0\): Đúng. Kết luận: Khẳng định sai là \(A.~\tan\alpha<0.\). Câu 9: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định dấu của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ khi góc $\alpha$ nằm trong khoảng $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. 1. Xác định góc $\alpha$ thuộc góc phần tư nào: - Khoảng $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ tương ứng với góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác. 2. Xét dấu của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ trong góc phần tư thứ hai: - Trong góc phần tư thứ hai, giá trị của $\sin\alpha$ là dương. Điều này là do trong góc phần tư thứ hai, trục tung (trục y) của đường tròn lượng giác là dương, và $\sin\alpha$ được xác định bởi trục tung. - Trong góc phần tư thứ hai, giá trị của $\cos\alpha$ là âm. Điều này là do trong góc phần tư thứ hai, trục hoành (trục x) của đường tròn lượng giác là âm, và $\cos\alpha$ được xác định bởi trục hoành. 3. Kết luận: - Với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, ta có $\sin\alpha > 0$ và $\cos\alpha < 0$. Do đó, đáp án đúng là $C.~\sin\alpha>0,~\cos\alpha< 0.$