Làm giúp vs

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các số nguyên \( n \) sao cho biểu thức \( P(n) = 2n^3 + n^2 + 7n + 1 \) chia hết cho \( 2n - 1 \). Bước 1: Xét điều kiện chia hết \[ P(n) \equiv 0 \pmod{2n-1} \] Bước 2: Thay \( n = \frac{1}{2} \) vào \( P(n) \) để kiểm tra điều kiện chia hết. \[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 7\left(\frac{1}{2}\right) + 1 \] \[ = 2 \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{7}{2} + 1 \] \[ = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{7}{2} + 1 \] \[ = \frac{1}{2} + \frac{7}{2} + 1 \] \[ = 4 + 1 \] \[ = 5 \] Bước 3: Ta thấy rằng \( P\left(\frac{1}{2}\right) = 5 \), nên \( 2n - 1 \) phải là ước của 5. Các ước của 5 là \( \pm 1, \pm 5 \). Bước 4: Giải các phương trình \( 2n - 1 = k \) với \( k \) là các ước của 5. \[ 2n - 1 = 1 \implies 2n = 2 \implies n = 1 \] \[ 2n - 1 = -1 \implies 2n = 0 \implies n = 0 \] \[ 2n - 1 = 5 \implies 2n = 6 \implies n = 3 \] \[ 2n - 1 = -5 \implies 2n = -4 \implies n = -2 \] Bước 5: Kiểm tra các giá trị \( n \) vừa tìm được: - Với \( n = 1 \): \[ P(1) = 2(1)^3 + (1)^2 + 7(1) + 1 = 2 + 1 + 7 + 1 = 11 \] \[ 2(1) - 1 = 1 \] \[ 11 \div 1 = 11 \] (đúng) - Với \( n = 0 \): \[ P(0) = 2(0)^3 + (0)^2 + 7(0) + 1 = 1 \] \[ 2(0) - 1 = -1 \] \[ 1 \div (-1) = -1 \] (đúng) - Với \( n = 3 \): \[ P(3) = 2(3)^3 + (3)^2 + 7(3) + 1 = 54 + 9 + 21 + 1 = 85 \] \[ 2(3) - 1 = 5 \] \[ 85 \div 5 = 17 \] (đúng) - Với \( n = -2 \): \[ P(-2) = 2(-2)^3 + (-2)^2 + 7(-2) + 1 = -16 + 4 - 14 + 1 = -25 \] \[ 2(-2) - 1 = -5 \] \[ -25 \div (-5) = 5 \] (đúng) Vậy có 4 số nguyên \( n \) thỏa mãn điều kiện của bài toán. Đáp án: 4