Giúp mik nha

Câu 16: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm ĐKXĐ Hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \) có mẫu số \( x - 1 \neq 0 \). Do đó, điều kiện xác định là: \[ x \neq 1 \] Bước 2: Tính đạo hàm \( f'(x) \) Để tìm các điểm cực trị và tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số, chúng ta cần tính đạo hàm của \( f(x) \). Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \] \[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] Trong đó: \[ u(x) = x^2 + 3x \] \[ v(x) = x - 1 \] Tính đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \): \[ u'(x) = 2x + 3 \] \[ v'(x) = 1 \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(2x^2 + 3x - 2x - 3) - (x^2 + 3x)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + x - 3 - x^2 - 3x}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] Bước 3: Tìm các điểm cực trị Đặt \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bước 4: Xác định tính chất đồng biến, nghịch biến Xét dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng: - \( (-\infty, -1) \) - \( (-1, 1) \) - \( (1, 3) \) - \( (3, \infty) \) Khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = \frac{(-2)^2 - 2(-2) - 3}{(-2 - 1)^2} = \frac{4 + 4 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0 \] Hàm số đồng biến. Khoảng \( (-1, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = \frac{0^2 - 2(0) - 3}{(0 - 1)^2} = \frac{-3}{1} = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến. Khoảng \( (1, 3) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = \frac{2^2 - 2(2) - 3}{(2 - 1)^2} = \frac{4 - 4 - 3}{1} = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến. Khoảng \( (3, \infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ f'(4) = \frac{4^2 - 2(4) - 3}{(4 - 1)^2} = \frac{16 - 8 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0 \] Hàm số đồng biến. Kết luận: a) Hàm số \( f(x) \) có ba điểm cực trị: \( x = -1 \), \( x = 1 \), và \( x = 3 \). b) Cực đại của hàm số \( f(x) \) là 1 tại \( x = -1 \). c) Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (-1; 3) \). d) Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty; 1) \). Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng