giups tooi

Bài 1: Câu hỏi: Giải các hệ phương trình sau: 1/ $\left\{\begin{array}{l}2(x+y)+3(x-y)=4\\(x+y)+2(x-y)=5\end{array}\right.$ 2/ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{5}\\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\end{array}\right.$ 3/ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y-1}=2\\\frac{2}{x-2}-\frac{3}{y-1}=1\end{array}\right.$ 4/ $\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=4\\\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=1\end{array}\right.$ 5/ $\left\{\begin{array}{l}(x-2)^2-2y^2=6\\3(x-2)^2+5y^2=5\end{array}\right.$ 6/ $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x-y}+\frac{6}{x+y}=1\\\frac{4}{x-y}-\frac{9}{x+y}=1\end{array}\right.$ 7/ $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{2x-y}+\frac{3}{x-2y}=\frac{1}{2}\\\frac{2}{2x-y}-\frac{1}{x-2y}=\frac{1}{18}\end{array}\right.$ 8/ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{array}\right.$ 9/ $\left\{\begin{array}{l}2(x+y)+\sqrt{x+1}=4\\(x-y)-3\sqrt{x+1}=-5\end{array}\right.$ 10/ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+3-2\sqrt{y}+1=2\\2\sqrt{x}+3=2\sqrt{y}+1=4\end{array}\right.$ 11/ $\left\{\begin{array}{l}3\sqrt{x}-2\sqrt{y}=1\\2\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\end{array}\right.$ 12/ $\left\{\begin{array}{l}3\sqrt{x}-2\sqrt{y}=-1\\2\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\end{array}\right.$ Câu trả lời: 1/ $\left\{\begin{array}{l}2(x+y)+3(x-y)=4\\(x+y)+2(x-y)=5\end{array}\right.$ Đặt $u = x + y$ và $v = x - y$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2u + 3v = 4\\u + 2v = 5\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 2: $\left\{\begin{array}{l}2u + 3v = 4\\2u + 4v = 10\end{array}\right.$ Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: $(2u + 4v) - (2u + 3v) = 10 - 4$ $v = 6$ Thay $v = 6$ vào phương trình thứ hai: $u + 2(6) = 5$ $u + 12 = 5$ $u = -7$ Ta có: $x + y = -7$ $x - y = 6$ Cộng hai phương trình: $2x = -1$ $x = -\frac{1}{2}$ Thay $x = -\frac{1}{2}$ vào $x + y = -7$: $-\frac{1}{2} + y = -7$ $y = -7 + \frac{1}{2}$ $y = -\frac{13}{2}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{13}{2}\right)$. 2/ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{5}\\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\end{array}\right.$ Đặt $u = \frac{1}{x}$ và $v = \frac{1}{y}$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}u + v = \frac{4}{5}\\u - v = \frac{1}{5}\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $(u + v) + (u - v) = \frac{4}{5} + \frac{1}{5}$ $2u = 1$ $u = \frac{1}{2}$ Thay $u = \frac{1}{2}$ vào phương trình thứ nhất: $\frac{1}{2} + v = \frac{4}{5}$ $v = \frac{4}{5} - \frac{1}{2}$ $v = \frac{8}{10} - \frac{5}{10}$ $v = \frac{3}{10}$ Ta có: $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ $x = 2$ $\frac{1}{y} = \frac{3}{10}$ $y = \frac{10}{3}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(2, \frac{10}{3}\right)$. 3/ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y-1}=2\\\frac{2}{x-2}-\frac{3}{y-1}=1\end{array}\right.$ Đặt $u = \frac{1}{x-2}$ và $v = \frac{1}{y-1}$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}u + v = 2\\2u - 3v = 1\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 3: $\left\{\begin{array}{l}3u + 3v = 6\\2u - 3v = 1\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $(3u + 3v) + (2u - 3v) = 6 + 1$ $5u = 7$ $u = \frac{7}{5}$ Thay $u = \frac{7}{5}$ vào phương trình thứ nhất: $\frac{7}{5} + v = 2$ $v = 2 - \frac{7}{5}$ $v = \frac{10}{5} - \frac{7}{5}$ $v = \frac{3}{5}$ Ta có: $\frac{1}{x-2} = \frac{7}{5}$ $x - 2 = \frac{5}{7}$ $x = \frac{5}{7} + 2$ $x = \frac{5}{7} + \frac{14}{7}$ $x = \frac{19}{7}$ $\frac{1}{y-1} = \frac{3}{5}$ $y - 1 = \frac{5}{3}$ $y = \frac{5}{3} + 1$ $y = \frac{5}{3} + \frac{3}{3}$ $y = \frac{8}{3}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(\frac{19}{7}, \frac{8}{3}\right)$. 4/ $\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=4\\\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=1\end{array}\right.$ Đặt $u = \sqrt{x+y}$ và $v = \sqrt{x-y}$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2u + v = 4\\u + v = 1\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 2: $\left\{\begin{array}{l}2u + v = 4\\2u + 2v = 2\end{array}\right.$ Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: $(2u + 2v) - (2u + v) = 2 - 4$ $v = -2$ Thay $v = -2$ vào phương trình thứ hai: $u + (-2) = 1$ $u = 3$ Ta có: $\sqrt{x+y} = 3$ $x + y = 9$ $\sqrt{x-y} = -2$ $x - y = 4$ Cộng hai phương trình: $2x = 13$ $x = \frac{13}{2}$ Thay $x = \frac{13}{2}$ vào $x + y = 9$: $\frac{13}{2} + y = 9$ $y = 9 - \frac{13}{2}$ $y = \frac{18}{2} - \frac{13}{2}$ $y = \frac{5}{2}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(\frac{13}{2}, \frac{5}{2}\right)$. 5/ $\left\{\begin{array}{l}(x-2)^2-2y^2=6\\3(x-2)^2+5y^2=5\end{array}\right.$ Đặt $u = (x-2)^2$ và $v = y^2$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}u - 2v = 6\\3u + 5v = 5\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 5: $\left\{\begin{array}{l}5u - 10v = 30\\3u + 5v = 5\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $(5u - 10v) + (3u + 5v) = 30 + 5$ $8u = 35$ $u = \frac{35}{8}$ Thay $u = \frac{35}{8}$ vào phương trình thứ nhất: $\frac{35}{8} - 2v = 6$ $-2v = 6 - \frac{35}{8}$ $-2v = \frac{48}{8} - \frac{35}{8}$ $-2v = \frac{13}{8}$ $v = -\frac{13}{16}$ Ta có: $(x-2)^2 = \frac{35}{8}$ $x - 2 = \pm \sqrt{\frac{35}{8}}$ $x = 2 \pm \sqrt{\frac{35}{8}}$ $y^2 = -\frac{13}{16}$ $y = \pm \sqrt{-\frac{13}{16}}$ (không có nghiệm thực) Vậy hệ phương trình không có nghiệm thực. 6/ $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x-y}+\frac{6}{x+y}=1\\\frac{4}{x-y}-\frac{9}{x+y}=1\end{array}\right.$ Đặt $u = \frac{1}{x-y}$ và $v = \frac{1}{x+y}$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2u + 6v = 1\\4u - 9v = 1\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 3: $\left\{\begin{array}{l}6u + 18v = 3\\4u - 9v = 1\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $(6u + 18v) + (4u - 9v) = 3 + 1$ $10u + 9v = 4$ $10u = 4 - 9v$ $u = \frac{4 - 9v}{10}$ Thay $u = \frac{4 - 9v}{10}$ vào phương trình thứ nhất: $2\left(\frac{4 - 9v}{10}\right) + 6v = 1$ $\frac{8 - 18v}{10} + 6v = 1$ $\frac{8 - 18v + 60v}{10} = 1$ $\frac{8 + 42v}{10} = 1$ $8 + 42v = 10$ $42v = 2$ $v = \frac{1}{21}$ Thay $v = \frac{1}{21}$ vào $u = \frac{4 - 9v}{10}$: $u = \frac{4 - 9\left(\frac{1}{21}\right)}{10}$ $u = \frac{4 - \frac{9}{21}}{10}$ $u = \frac{4 - \frac{3}{7}}{10}$ $u = \frac{\frac{28}{7} - \frac{3}{7}}{10}$ $u = \frac{\frac{25}{7}}{10}$ $u = \frac{25}{70}$ $u = \frac{5}{14}$ Ta có: $\frac{1}{x-y} = \frac{5}{14}$ $x - y = \frac{14}{5}$ $\frac{1}{x+y} = \frac{1}{21}$ $x + y = 21$ Cộng hai phương trình: $2x = \frac{14}{5} + 21$ $2x = \frac{14}{5} + \frac{105}{5}$ $2x = \frac{119}{5}$ $x = \frac{119}{10}$ Thay $x = \frac{119}{10}$ vào $x + y = 21$: $\frac{119}{10} + y = 21$ $y = 21 - \frac{119}{10}$ $y = \frac{210}{10} - \frac{119}{10}$ $y = \frac{91}{10}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(\frac{119}{10}, \frac{91}{10}\right)$. 7/ $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{2x-y}+\frac{3}{x-2y}=\frac{1}{2}\\\frac{2}{2x-y}-\frac{1}{x-2y}=\frac{1}{18}\end{array}\right.$ Đặt $u = \frac{1}{2x-y}$ và $v = \frac{1}{x-2y}$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2u + 3v = \frac{1}{2}\\2u - v = \frac{1}{18}\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 3: $\left\{\begin{array}{l}2u + 3v = \frac{1}{2}\\6u - 3v = \frac{1}{6}\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $(2u + 3v) + (6u - 3v) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ $8u = \frac{2}{3}$ $u = \frac{1}{12}$ Thay $u = \frac{1}{12}$ vào phương trình thứ hai: $2\left(\frac{1}{12}\right) - v = \frac{1}{18}$ $\frac{1}{6} - v = \frac{1}{18}$ $v = \frac{1}{6} - \frac{1}{18}$ $v = \frac{3}{18} - \frac{1}{18}$ $v = \frac{2}{18}$ $v = \frac{1}{9}$ Ta có: $\frac{1}{2x-y} = \frac{1}{12}$ $2x - y = 12$ $\frac{1}{x-2y} = \frac{1}{9}$ $x - 2y = 9$ Nhân phương trình thứ hai với 2: $2x - 4y = 18$ Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: $(2x - 4y) - (2x - y) = 18 - 12$ $-3y = 6$ $y = -2$ Thay $y = -2$ vào $2x - y = 12$: $2x - (-2) = 12$ $2x + 2 = 12$ $2x = 10$ $x = 5$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (5, -2)$. 8/ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{array}\right.$ Đặt $u = \sqrt{x+3}$ và $v = \sqrt{y+1}$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}u - 2v = 2\\2u + v = 4\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 2: $\left\{\begin{array}{l}2u - 4v = 4\\2u + v = 4\end{array}\right.$ Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: $(2u + v) - (2u - 4v) = 4 - 4$ $5v = 0$ $v = 0$ Thay $v = 0$ vào phương trình thứ hai: $2u + 0 = 4$ $2u = 4$ $u = 2$ Ta có: $\sqrt{x+3} = 2$ $x + 3 = 4$ $x = 1$ $\sqrt{y+1} = 0$ $y + 1 = 0$ $y = -1$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (1, -1)$. 9/ $\left\{\begin{array}{l}2(x+y)+\sqrt{x+1}=4\\(x-y)-3\sqrt{x+1}=-5\end{array}\right.$ Đặt $u = x + y$ và $v = \sqrt{x+1}$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2u + v = 4\\x - y - 3v = -5\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 2: $\left\{\begin{array}{l}2u + v = 4\\2x - 2y - 6v = -10\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $(2u + v) + (2x - 2y - 6v) = 4 - 10$ $2u + 2x - 2y - 5v = -6$ $2(u + x - y) - 5v = -6$ Thay $u = x + y$ vào: $2(x + y + x - y) - 5v = -6$ $2(2x) - 5v = -6$ $4x - 5v = -6$ Thay $v = \sqrt{x+1}$ vào: $4x - 5\sqrt{x+1} = -6$ Giải phương trình này để tìm $x$: $4x + 6 = 5\sqrt{x+1}$ $(4x + 6)^2 = (5\sqrt{x+1})^2$ $16x^2 + 48x + 36 = 25(x+1)$ $16x^2 + 48x + 36 = 25x + 25$ $16x^2 + 23x + 11 = 0$ Giải phương trình bậc hai này để tìm $x$: $x = \frac{-23 \pm \sqrt{23^2 - 4 \cdot 16 \cdot 11}}{2 \cdot 16}$ $x = \frac{-23 \pm \sqrt{529 - 704}}{32}$ $x = \frac{-23 \pm \sqrt{-175}}{32}$ Phương trình này không có nghiệm thực. 10/ $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+3-2\sqrt{y}+1=2\\2\sqrt{x}+3=2\sqrt{y}+1=4\end{array}\right.$ Đặt $u = \sqrt{x}$ và $v = \sqrt{y}$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}u + 3 - 2v + 1 = 2\\2u + 3 = 2v + 1 = 4\end{array}\right.$ Rút gọn phương trình thứ nhất: $u - 2v + 4 = 2$ $u - 2v = -2$ Rút gọn phương trình thứ hai: $2u + 3 = 4$ $2u = 1$ $u = \frac{1}{2}$ Thay $u = \frac{1}{2}$ vào phương trình thứ nhất: $\frac{1}{2} - 2v = -2$ $-2v = -2 - \frac{1}{2}$ $-2v = -\frac{5}{2}$ $v = \frac{5}{4}$ Ta có: $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$ $x = \frac{1}{4}$ $\sqrt{y} = \frac{5}{4}$ $y = \frac{25}{16}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(\frac{1}{4}, \frac{25}{16}\right)$. 11/ $\left\{\begin{array}{l}3\sqrt{x}-2\sqrt{y}=1\\2\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\end{array}\right.$ Đặt $u = \sqrt{x}$ và $v = \sqrt{y}$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3u - 2v = 1\\2u + v = 4\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 2: $\left\{\begin{array}{l}3u - 2v = 1\\4u + 2v = 8\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $(3u - 2v) + (4u + 2v) = 1 + 8$ $7u = 9$ $u = \frac{9}{7}$ Thay $u = \frac{9}{7}$ vào phương trình thứ hai: $2\left(\frac{9}{7}\right) + v = 4$ $\frac{18}{7} + v = 4$ $v = 4 - \frac{18}{7}$ $v = \frac{28}{7} - \frac{18}{7}$ $v = \frac{10}{7}$ Ta có: $\sqrt{x} = \frac{9}{7}$ $x = \frac{81}{49}$ $\sqrt{y} = \frac{10}{7}$ $y = \frac{100}{49}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(\frac{81}{49}, \frac{100}{49}\right)$. 12/ $\left\{\begin{array}{l}3\sqrt{x}-2\sqrt{y}=-1\\2\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\end{array}\right.$ Đặt $u = \sqrt{x}$ và $v = \sqrt{y}$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3u - 2v = -1\\2u + v = 4\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 2: $\left\{\begin{array}{l}3u - 2v = -1\\4u + 2v = 8\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình: $(3u - 2v) + (4u + 2v) = -1 + 8$ $7u = 7$ $u = 1$ Thay $u = 1$ vào phương trình thứ hai: $2(1) + v = 4$ $2 + v = 4$ $v = 2$ Ta có: $\sqrt{x} = 1$ $x = 1$ $\sqrt{y} = 2$ $y = 4$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (1, 4)$.