giải hộ với mọi người ơi

Bài 4: a) Đặt $u=\frac{1}{x},v=\frac{1}{y}$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} u+v=\frac{1}{12}\\ 8u+15v=1 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8u+8v=\frac{2}{3}\\ 8u+15v=1 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7v=-\frac{1}{3}\\ u+v=\frac{1}{12} \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v=\frac{1}{21}\\ u=\frac{1}{28} \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{y}=\frac{1}{21}\\ \frac{1}{x}=\frac{1}{28} \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=21\\ x=28 \end{matrix}\right.$ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (28; 21) b) Đặt $u=x^{2}-2x,v=\sqrt{y+1}$. Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2u+v=0\\ 3u-2v=-7 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4u+2v=0\\ 3u-2v=-7 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7u=-7\\ 2u+v=0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u=-1\\ v=2 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-2x=-1\\ \sqrt{y+1}=2 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}=0\\ y+1=4 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=3 \end{matrix}\right.$ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1; 3) Bài 1: a) Thay $x=-2,y=3$ vào hệ phương trình ta có: $\left\{\begin{matrix}-2+3m=4 & \\ -2n+3=-3 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3m=6 & \\ -2n=-6 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m=2 & \\ n=3 & \end{matrix}\right.$ Vậy $m=2;n=3$ b) Ta có: $(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+my=4 & \\ nx+y=-3 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}mx+y=4 & \\ nx+y=-3 & \end{matrix}\right.$ Hệ phương trình trên có vô số nghiệm khi và chỉ khi: $\frac{m}{n}=\frac{1}{1}=\frac{4}{-3}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m=n & \\ 1=-\frac{4}{3} & \end{matrix}\right.$(vô lý) Vậy không tồn tại m,n thỏa mãn yêu cầu đề bài. Bài 2: Để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+y=m+1\\x+my=2\end{array}\right.$ có vô số nghiệm, hai phương trình này phải là hai phương trình cùng biểu diễn một đường thẳng. Điều này xảy ra khi các hệ số tương ứng của chúng tỉ lệ với nhau. Ta có: $\frac{m}{1} = \frac{1}{m} = \frac{m+1}{2}$ Bây giờ ta sẽ giải từng cặp tỉ lệ trên: 1. $\frac{m}{1} = \frac{1}{m}$ $m^2 = 1$ $m = 1 \text{ hoặc } m = -1$ 2. $\frac{m}{1} = \frac{m+1}{2}$ $2m = m + 1$ $m = 1$ 3. $\frac{1}{m} = \frac{m+1}{2}$ $2 = m(m+1)$ $2 = m^2 + m$ $m^2 + m - 2 = 0$ $m^2 + 2m - m - 2 = 0$ $m(m + 2) - 1(m + 2) = 0$ $(m - 1)(m + 2) = 0$ $m = 1 \text{ hoặc } m = -2$ Từ các kết quả trên, ta thấy rằng giá trị của $m$ thỏa mãn tất cả các điều kiện là $m = 1$. Vậy, $m = 1$ là giá trị duy nhất để hệ phương trình có vô số nghiệm. Bài 3: Giải phương trình thứ hai của hệ ta được $y = 2-x$. Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: $(2+m)x = m^2+2m$ - Nếu $2+m \neq 0$ hay $m \neq -2$, ta có $x=\frac{m^2+2m}{m+2}=m$ và $y = 2-x = 2-m$. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)=(m,2-m)$. - Nếu $2+m = 0$ hay $m = -2$, ta có $0.x = 0$ (luôn đúng) và $y = 2-x$. Hệ phương trình có vô số nghiệm $(x,y)=(t,2-t)$ với $t$ là tham số. Vậy nếu $m \neq -2$, hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)=(m,2-m)$. Nếu $m = -2$, hệ phương trình có vô số nghiệm $(x,y)=(t,2-t)$ với $t$ là tham số. Bài 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Viết lại hệ phương trình dưới dạng tổng quát: \[ \left\{ \begin{array}{l} mx - y = 2m \\ 4x - my = m + 6 \end{array} \right. \] 2. Ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để tìm nghiệm của hệ phương trình. 3. Nhân phương trình đầu tiên với \(m\) để chuẩn bị cho việc cộng đại số: \[ \left\{ \begin{array}{l} m(mx) - m(y) = m(2m) \\ 4x - my = m + 6 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} m^2x - my = 2m^2 \\ 4x - my = m + 6 \end{array} \right. \] 4. Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (m^2x - my) - (4x - my) = 2m^2 - (m + 6) \] \[ m^2x - 4x = 2m^2 - m - 6 \] \[ (m^2 - 4)x = 2m^2 - m - 6 \] 5. Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, hệ số của \(x\) phải khác 0: \[ m^2 - 4 \neq 0 \] \[ m \neq \pm 2 \] 6. Để hệ phương trình vô nghiệm, hệ số của \(x\) phải bằng 0 nhưng vế phải phải khác 0: \[ m^2 - 4 = 0 \quad \text{và} \quad 2m^2 - m - 6 \neq 0 \] \[ m = \pm 2 \quad \text{và} \quad 2m^2 - m - 6 \neq 0 \] Kiểm tra \(m = 2\): \[ 2(2)^2 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0 \] Kiểm tra \(m = -2\): \[ 2(-2)^2 - (-2) - 6 = 8 + 2 - 6 = 4 \neq 0 \] Vậy \(m = -2\) là trường hợp vô nghiệm. 7. Để hệ phương trình có vô số nghiệm, hệ số của \(x\) và vế phải đều phải bằng 0: \[ m^2 - 4 = 0 \quad \text{và} \quad 2m^2 - m - 6 = 0 \] \[ m = \pm 2 \quad \text{và} \quad 2m^2 - m - 6 = 0 \] Kiểm tra \(m = 2\): \[ 2(2)^2 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0 \] Kiểm tra \(m = -2\): \[ 2(-2)^2 - (-2) - 6 = 8 + 2 - 6 = 4 \neq 0 \] Vậy \(m = 2\) là trường hợp có vô số nghiệm. Kết luận: - Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \(m \neq \pm 2\). - Hệ phương trình vô nghiệm khi \(m = -2\). - Hệ phương trình có vô số nghiệm khi \(m = 2\). Bài 5: b) Thay $m=1$ vào hệ phương trình ta được: $\left\{\begin{array}{l}x+2y=4\\2x-3y=1\end{array}\right.$ Nhân phương trình đầu tiên với 2 rồi trừ phương trình thứ hai: $2(x+2y)-(2x-3y)=2\times 4-1$ $4y+3y=8-1$ $7y=7$ $y=1$ Thay $y=1$ vào phương trình đầu tiên: $x+2\times 1=4$ $x+2=4$ $x=2$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x,y)=(2,1).$ c) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, hệ phương trình phải có dạng: $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\dx+ey=f\end{array}\right.$ với $ae-bd\ne 0.$ Hệ phương trình đã cho có dạng: $\left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\2x-3y=m\end{array}\right.$ Ta có $ae-bd=(-3)-2\times 2=-7\ne 0.$ Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn $x+y=-3,$ ta thay $y=-3-x$ vào hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+2(-3-x)=m+3\\2x-3(-3-x)=m\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}-x-6=m+3\\5x+9=m\end{array}\right.$ Từ phương trình đầu tiên, ta có: $-x=m+9$ Từ phương trình thứ hai, ta có: $5x=m-9$ Thay $-x=m+9$ vào phương trình thứ hai: $5(-m-9)=m-9$ $-5m-45=m-9$ $-6m=36$ $m=-6$ Vậy $m=-6.$ Bài 6: a) Với $m=2,$ ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-2y=5~(1)\\2x-y=4~(2)\end{array}\right.$ Từ phương trình (1), ta có $x=5+2y.$ Thay vào phương trình (2), ta được: $2(5+2y)-y=4$ $\Leftrightarrow 10+4y-y=4$ $\Leftrightarrow 3y=-6$ $\Leftrightarrow y=-2$ Thay $y=-2$ vào phương trình $x=5+2y,$ ta được $x=5+2(-2)=1.$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x,y)=(1,-2).$ b) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần hệ phương trình có dạng: $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\dx+ey=f\end{array}\right.$ với $ae-bd\neq 0.$ Trong trường hợp này, ta có: $a=1, b=-2, c=5, d=m, e=-1, f=4.$ Do đó, ta cần $1(-1)-(-2)m\neq 0$ $\Leftrightarrow -1+2m\neq 0$ $\Leftrightarrow 2m\neq 1$ $\Leftrightarrow m\neq \frac{1}{2}$ Để nghiệm của hệ phương trình có x và y trái dấu, ta cần: $x>0$ và $y< 0$ hoặc $x< 0$ và $y>0.$ Từ phương trình (1), ta có $x=5+2y.$ Nếu $x>0$ và $y< 0,$ ta có $5+2y>0$ và $y< 0.$ $\Leftrightarrow 5>2y$ và $y< 0.$ $\Leftrightarrow y< \frac{5}{2}$ và $y< 0.$ $\Leftrightarrow y< 0.$ Nếu $x< 0$ và $y>0,$ ta có $5+2y< 0$ và $y>0.$ $\Leftrightarrow 5< 2y$ và $y>0.$ $\Leftrightarrow y>\frac{5}{2}$ và $y>0.$ $\Leftrightarrow y>\frac{5}{2}.$ Vậy để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)$ trong đó x, y trái dấu, ta cần $m\neq \frac{1}{2}$ và $y< 0$ hoặc $y>\frac{5}{2}.$ c) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)$ thỏa mãn $x=|y|,$ ta cần: $x=|y|$ và $x-2y=5.$ Nếu $y\geq 0,$ ta có $x=y.$ Thay vào phương trình $x-2y=5,$ ta được: $y-2y=5$ $\Leftrightarrow -y=5$ $\Leftrightarrow y=-5.$ Nhưng $y=-5$ không thỏa mãn điều kiện $y\geq 0.$ Nếu $y< 0,$ ta có $x=-y.$ Thay vào phương trình $x-2y=5,$ ta được: $-y-2y=5$ $\Leftrightarrow -3y=5$ $\Leftrightarrow y=-\frac{5}{3}.$ Thay $y=-\frac{5}{3}$ vào phương trình $x=-y,$ ta được $x=\frac{5}{3}.$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x,y)=(\frac{5}{3},-\frac{5}{3}).$ Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)$ thỏa mãn $x=|y|,$ ta cần $m$ sao cho $x=\frac{5}{3}$ và $y=-\frac{5}{3}.$ Thay $x=\frac{5}{3}$ và $y=-\frac{5}{3}$ vào phương trình $mx-y=4,$ ta được: $m\cdot \frac{5}{3}-(-\frac{5}{3})=4$ $\Leftrightarrow \frac{5m}{3}+\frac{5}{3}=4$ $\Leftrightarrow \frac{5m+5}{3}=4$ $\Leftrightarrow 5m+5=12$ $\Leftrightarrow 5m=7$ $\Leftrightarrow m=\frac{7}{5}.$ Vậy $m=\frac{7}{5}.$ Bài 7: d) Thay $a=2$ vào hệ phương trình ta được: $\left\{\begin{array}{ll}3x-y=3&\\x+y=2&\end{array}\right.$ Cộng vế theo vế hai phương trình trên ta được: $4x=5$ Suy ra $x=\frac{5}{4}$. Thay $x=\frac{5}{4}$ vào phương trình $x+y=2$ ta được $y=\frac{3}{4}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(x,y)=(\frac{5}{4},\frac{3}{4})$ e) Ta có: $(1)$ $\Leftrightarrow$ $y=(a+1)x-(a+1)$ Thay $y=(a+1)x-(a+1)$ vào phương trình $(2)$ ta được: $x+(a-1)[(a+1)x-(a+1)]=2$ $\Leftrightarrow$ $x+(a-1)(a+1)x-(a-1)(a+1)=2$ $\Leftrightarrow$ $[1+(a-1)(a+1)]x=(a-1)(a+1)+2$ $\Leftrightarrow$ $[1+a^{2}-1]x=a^{2}-1+2$ $\Leftrightarrow$ $a^{2}x=a^{2}+1$ $\Leftrightarrow$ $x=1+\frac{1}{a^{2}}$ Do đó $y=(a+1)(1+\frac{1}{a^{2}})-(a+1)=\frac{a+1}{a^{2}}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(x,y)=(1+\frac{1}{a^{2}},\frac{a+1}{a^{2}})$ Muốn hệ phương trình có nghiệm nguyên thì $a^{2}$ phải là ước của $1$, tức là $a^{2}=1$ hoặc $a^{2}=-1$ (loại) Vậy $a=1$ hoặc $a=-1$ f) Ta có: $x+y=1+\frac{1}{a^{2}}+\frac{a+1}{a^{2}}=1+\frac{a+2}{a^{2}}$ Ta thấy $1+\frac{a+2}{a^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\frac{a+2}{a^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Xét hàm số $f(a)=\frac{a+2}{a^{2}}$ với $a\neq 0$ Ta có $f'(a)=\frac{a^{2}-2a-4}{a^{4}}$ Giải phương trình $f'(a)=0$ ta được $a=1+\sqrt{5}$ hoặc $a=1-\sqrt{5}$ Từ đây ta suy ra $a=1+\sqrt{5}$ hoặc $a=1-\sqrt{5}$