giúp mình với $c)~y=\frac13x^3-mx^2-(2m+1)x+1$ nghịch biến trên khoảng (0;5).,$d)~y=x^3-3x^2+(5-m)x$ đồng biến trên khoảng (2;+oo).

Question

Accepted Answer

Câu c: Xét hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 - (2m + 1)x + 1 $ Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 5)$, ta cần $ y' < 0 $ trên khoảng này. Tính đạo hàm: $$ y' = x^2 - 2mx - (2m + 1) $$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 5)$ khi $ y' < 0 $ trên khoảng này. Ta cần tìm $ m $ sao cho $ x^2 - 2mx - (2m + 1) < 0 $ trên $(0; 5)$. Xét dấu của $ y' $: $$ x^2 - 2mx - (2m + 1) < 0 $$ Ta cần tìm $ m $ sao cho bất phương trình trên đúng trên khoảng $(0; 5)$. Điều này xảy ra khi $ y' $ có hai nghiệm thực và nằm trong khoảng $(0; 5)$. Giải phương trình $ x^2 - 2mx - (2m + 1) = 0 $: $$ \Delta = (2m)^2 + 4(2m + 1) = 4m^2 + 8m + 4 = 4(m^2 + 2m + 1) = 4(m + 1)^2 $$ Do đó, nghiệm của phương trình là: $$ x = \frac{2m \pm 2(m + 1)}{2} = m \pm (m + 1) $$ $$ x_1 = 2m + 1 $$ $$ x_2 = -1 $$ Để $ y' < 0 $ trên $(0; 5)$, ta cần $ 2m + 1 $ nằm trong khoảng $(0; 5)$: $$ 0 < 2m + 1 < 5 $$ $$ -1 < 2m < 4 $$ $$ -\frac{1}{2} < m < 2 $$ Vậy, $ m $ phải thỏa mãn $ -\frac{1}{2} < m < 2 $. Câu d: Xét hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + (5 - m)x $ Để hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$, ta cần $ y' > 0 $ trên khoảng này. Tính đạo hàm: $$ y' = 3x^2 - 6x + (5 - m) $$ Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$ khi $ y' > 0 $ trên khoảng này. Ta cần tìm $ m $ sao cho $ 3x^2 - 6x + (5 - m) > 0 $ trên $(2; +\infty)$. Xét dấu của $ y' $: $$ 3x^2 - 6x + (5 - m) > 0 $$ Ta cần tìm $ m $ sao cho bất phương trình trên đúng trên khoảng $(2; +\infty)$. Điều này xảy ra khi $ y' $ có hai nghiệm thực và nằm ngoài khoảng $(2; +\infty)$. Giải phương trình $ 3x^2 - 6x + (5 - m) = 0 $: $$ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (5 - m) = 36 - 12(5 - m) = 36 - 60 + 12m = 12m - 24 $$ Do đó, nghiệm của phương trình là: $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{12m - 24}}{6} = 1 \pm \sqrt{\frac{12m - 24}{36}} = 1 \pm \sqrt{\frac{m - 2}{3}} $$ Để $ y' > 0 $ trên $(2; +\infty)$, ta cần $ 1 + \sqrt{\frac{m - 2}{3}} $ nằm ngoài khoảng $(2; +\infty)$: $$ 1 + \sqrt{\frac{m - 2}{3}} > 2 $$ $$ \sqrt{\frac{m - 2}{3}} > 1 $$ $$ \frac{m - 2}{3} > 1 $$ $$ m - 2 > 3 $$ $$ m > 5 $$ Vậy, $ m $ phải thỏa mãn $ m > 5 $.