Câu 43: 1 vật dao động diều hòa có phương trình x=2cos (4π+π/2)(cm). Hãy xác định

Câu 43: Phương trình dao động: \[ x = 2 \cos (4\pi t + \frac{\pi}{2}) \, (cm) \] a. Biên độ \(A\) và pha ban đầu \(\varphi_0\): - Biên độ \(A = 2\, cm\) (hệ số trước cos) - Pha ban đầu \(\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\) b. Pha và li độ tại \(t = 2s\): - Pha tại \(t=2\): \[ \varphi = 4\pi \times 2 + \frac{\pi}{2} = 8\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{16\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{17\pi}{2} \] - Li độ: \[ x = 2 \cos \left( \frac{17\pi}{2} \right) \] Ta biết: \(\cos\left(\theta + 2k\pi\right) = \cos \theta\). \[ \frac{17\pi}{2} = 8\pi + \frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos\left(\frac{17\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \] Vậy \(x = 0\, cm\). c. Phương trình vận tốc và gia tốc: - Vận tốc: \[ v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi_0) \] Trong đó \(\omega = 4\pi\) \[ v = -2 \times 4\pi \sin(4\pi t + \frac{\pi}{2}) = -8\pi \sin(4\pi t + \frac{\pi}{2})\, (cm/s) \] - Gia tốc: \[ a = \frac{d^2 x}{dt^2} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0) \] \[ a = -2 \times (4\pi)^2 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{2}) = -2 \times 16 \pi^2 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{2}) = -32 \pi^2 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{2})\, (cm/s^2) \] Tính vận tốc và gia tốc tại \(t=0.25s\): - Tính pha: \[ \theta = 4\pi \times 0.25 + \frac{\pi}{2} = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \] - Vận tốc: \[ v = -8\pi \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -8\pi \times (-1) = 8\pi\, cm/s \approx 25.13\, cm/s \] - Gia tốc: \[ a = -32 \pi^2 \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -32 \pi^2 \times 0 = 0\, cm/s^2 \] --- Câu 44: Phương trình: \[ x = 5 \cos(10 \pi t + \frac{\pi}{2})\, (cm) \] a. Pha tại \(t = \frac{1}{30} s\): \[ \varphi = 10 \pi \times \frac{1}{30} + \frac{\pi}{2} = \frac{10 \pi}{30} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \] b. Vận tốc và gia tốc tại \(t = 0.5s\): - \(\omega = 10 \pi\) - Phương trình vận tốc: \[ v = -A \omega \sin(\omega t + \varphi_0) = -5 \times 10 \pi \sin(10 \pi t + \frac{\pi}{2}) = -50 \pi \sin(10 \pi t + \frac{\pi}{2}) \] - Phương trình gia tốc: \[ a = -A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0) = -5 \times (10 \pi)^2 \cos(10 \pi t + \frac{\pi}{2}) = -5 \times 100 \pi^2 \cos(10 \pi t + \frac{\pi}{2}) = -500 \pi^2 \cos(10 \pi t + \frac{\pi}{2}) \] Tính tại \(t=0.5s\): \[ \theta = 10 \pi \times 0.5 + \frac{\pi}{2} = 5 \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{10 \pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{2} \] \[ \sin\left(\frac{11\pi}{2}\right) = \sin\left(5\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \] (Sin tính theo chu kỳ \(2\pi\), trừ các chu kỳ) \[ \cos\left(\frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(5\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \] Vậy: \[ v = -50 \pi \times 1 = -50 \pi \approx -157.08\, cm/s \] \[ a = -500 \pi^2 \times 0 = 0\, cm/s^2 \] --- Câu 45: Phương trình dao động: \[ x = 5 \cos(2 \pi t + \frac{\pi}{3})\, (cm) \] a. Biên độ, pha ban đầu và pha ở thời điểm \(t\): - Biên độ: \(A = 5\, cm\) - Pha ban đầu: \(\varphi_0 = \frac{\pi}{3}\) - Pha tại thời điểm \(t\): \(\varphi = 2 \pi t + \frac{\pi}{3}\) b. Độ lớn vận tốc cực đại và gia tốc cực đại: - \(\omega = 2 \pi\) - Vận tốc cực đại: \[ v_{max} = A \omega = 5 \times 2 \pi = 10 \pi \approx 31.42\, cm/s \] - Gia tốc cực đại: \[ a_{max} = A \omega^2 = 5 \times (2 \pi)^2 = 5 \times 4 \pi^2 = 20 \pi^2 \approx 197.39\, cm/s^2 \] c. Phương trình vận tốc và gia tốc: - Vận tốc: \[ v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi_0) = -5 \times 2 \pi \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{3}) = -10 \pi \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{3}) \] - Gia tốc: \[ a = \frac{d^2 x}{dt^2} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0) = -5 \times (2 \pi)^2 \cos(2 \pi t + \frac{\pi}{3}) = -20 \pi^2 \cos(2 \pi t + \frac{\pi}{3}) \] --- **Tóm tắt đáp án:** **Câu 43:** - \(A=2\, cm\), \(\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\) - Tại \(t=2s\): \(\varphi = \frac{17\pi}{2}\), \(x=0\) - \(v = -8\pi \sin(4\pi t + \frac{\pi}{2})\), \(a = -32 \pi^2 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{2})\) - Tại \(t=0.25s\): \(v = 8\pi \approx 25.13\, cm/s\), \(a=0\) **Câu 44:** - Tại \(t=\frac{1}{30}s\): \(\varphi = \frac{5\pi}{6}\) - \(v = -50\pi \sin(10\pi t + \frac{\pi}{2})\), \(a = -500 \pi^2 \cos(10\pi t + \frac{\pi}{2})\) - Tại \(t=0.5s\): \(v \approx -157.08\, cm/s\), \(a=0\) **Câu 45:** - \(A=5\, cm\), \(\varphi_0 = \frac{\pi}{3}\), \(\varphi = 2\pi t + \frac{\pi}{3}\) - \(v_{max} = 10 \pi \approx 31.42\, cm/s\), \(a_{max} = 20 \pi^2 \approx 197.39\, cm/s^2\) - \(v = -10 \pi \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{3})\), \(a = -20 \pi^2 \cos(2 \pi t + \frac{\pi}{3})\)