Giải bài tập

Cho phương trình dao động điều hòa: \[ x = 10 \cos\left(\frac{\pi}{3} t + \frac{\pi}{2}\right) \quad (cm). \] --- **a. Tính quãng đường vật đi được sau 2 dao động.** Bước 1: Xác định chu kỳ \( T \). Phương trình dạng: \[ x = A \cos(\omega t + \varphi), \] với \(\omega = \frac{\pi}{3}\). Chu kỳ: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/3} = 2\pi \cdot \frac{3}{\pi} = 6 \text{ (s)}. \] Bước 2: Quãng đường đi được trong 1 chu kỳ. Trong dao động điều hòa, quãng đường đi được trong 1 chu kỳ là \(4A\) (vì vật đi từ vị trí cân bằng đến biên rồi về biên đối diện và quay lại vị trí cân bằng). \[ s_{1} = 4A = 4 \times 10 = 40 \, cm. \] Bước 3: Quãng đường đi được sau 2 chu kỳ: \[ s_2 = 2 \times s_1 = 2 \times 40 = 80 \, cm. \] --- **b. Tính li độ của vật khi \( t = 6\,s \).** Thay \( t = 6 \) vào phương trình: \[ x = 10 \cos\left( \frac{\pi}{3} \times 6 + \frac{\pi}{2} \right) = 10 \cos\left( 2\pi + \frac{\pi}{2} \right). \] Biểu thức trong dấu \(\cos\) có thể được giản lược: \[ 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}. \] \[ \cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0. \] Vậy: \[ x(6) = 10 \times 0 = 0\, cm. \] --- **c. Tính vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm \( t=1\, s \).** Vận tốc: \[ v = \frac{dx}{dt} = - A \omega \sin(\omega t + \varphi). \] Cho: \[ A = 10\, cm, \quad \omega = \frac{\pi}{3}, \quad \varphi = \frac{\pi}{2}. \] Tại \( t = 1 \): \[ v(1) = -10 \times \frac{\pi}{3} \times \sin\left(\frac{\pi}{3} \times 1 + \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{10\pi}{3} \sin\left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} \right). \] Tính góc: \[ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}. \] \[ \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}. \] Vậy: \[ v(1) = -\frac{10\pi}{3} \times \frac{1}{2} = -\frac{5\pi}{3} \approx -5.24 \, (cm/s). \] --- Gia tốc: \[ a = \frac{d^2x}{dt^2} = - A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi). \] Tại \( t=1 \): \[ a(1) = -10 \times \left(\frac{\pi}{3}\right)^2 \times \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right). \] Tính \(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\): \[ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \] Tính \(\omega^2\): \[ \left(\frac{\pi}{3}\right)^2 = \frac{\pi^2}{9}. \] Vậy: \[ a(1) = -10 \times \frac{\pi^2}{9} \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 10 \times \frac{\pi^2}{9} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \pi^2 \sqrt{3}}{18} = \frac{5 \pi^2 \sqrt{3}}{9}. \] Tính gần đúng: \[ \pi^2 \approx 9.87, \quad \sqrt{3} \approx 1.732. \] \[ a(1) \approx \frac{5 \times 9.87 \times 1.732}{9} = \frac{85.4}{9} \approx 9.49 \, (cm/s^2). \] --- **Kết luận:** \[ \boxed{ \begin{cases} a) \quad s_{2} = 80\, cm \\ b) \quad x(6) = 0\, cm \\ c) \quad v(1) \approx -5.24\, cm/s, \quad a(1) \approx 9.49\, cm/s^2 \end{cases} } \]