giải toán 12

Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x^4 - 4x^2 + 9 \) trên đoạn \([-2, 3]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^2 + 9) = 4x^3 - 8x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 8x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 2) = 0 \] \[ 4x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0 \] Từ đó, ta có các nghiệm: \[ x = 0, \quad x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2} \] 3. Kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn \([-2, 3]\): - Tại \( x = -2 \): \[ y(-2) = (-2)^4 - 4(-2)^2 + 9 = 16 - 16 + 9 = 9 \] - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^4 - 4(0)^2 + 9 = 9 \] - Tại \( x = \sqrt{2} \): \[ y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 + 9 = 4 - 8 + 9 = 5 \] - Tại \( x = -\sqrt{2} \): \[ y(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 - 4(-\sqrt{2})^2 + 9 = 4 - 8 + 9 = 5 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^4 - 4(3)^2 + 9 = 81 - 36 + 9 = 54 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất: Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: \[ y(-2) = 9, \quad y(0) = 9, \quad y(\sqrt{2}) = 5, \quad y(-\sqrt{2}) = 5, \quad y(3) = 54 \] Giá trị lớn nhất trong các giá trị này là 54. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x^4 - 4x^2 + 9 \) trên đoạn \([-2, 3]\) là 54. Đáp án đúng là: D. 54. Câu 2: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 33x \) trên đoạn \([2; 19]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 33 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 33 = 0 \implies x^2 = 11 \implies x = \pm \sqrt{11} \] Vì \( x \) nằm trong đoạn \([2; 19]\), nên chỉ lấy \( x = \sqrt{11} \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 33 \cdot 2 = 8 - 66 = -58 \] - Tại \( x = \sqrt{11} \): \[ f(\sqrt{11}) = (\sqrt{11})^3 - 33 \cdot \sqrt{11} = 11\sqrt{11} - 33\sqrt{11} = -22\sqrt{11} \] - Tại \( x = 19 \): \[ f(19) = 19^3 - 33 \cdot 19 = 6859 - 627 = 6232 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( f(2) = -58 \) - \( f(\sqrt{11}) = -22\sqrt{11} \approx -72.11 \) - \( f(19) = 6232 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( -22\sqrt{11} \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 33x \) trên đoạn \([2; 19]\) là: \[ \boxed{-22\sqrt{11}} \]