lam cho tụiij

Chúng ta lần lượt giải từng câu: --- **Câu 2:** - Biên độ \( A = 10\,cm \) - Vận tốc không vượt quá \( v \leq 20 \pi \sqrt{3}\,cm/s \) - Khoảng thời gian trong 1 chu kỳ để \( v \leq 20 \pi \sqrt{3} \) là \(\frac{2T}{3}\) Giải: Vận tốc của dao động điều hòa là: \[ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \] Trong đó: \[ v_{max} = \omega A \] Vận tốc phụ thuộc vào thời gian: \[ v = \omega A \cos(\omega t + \phi) \] Vận tốc có độ lớn không vượt quá \(v_0 = 20 \pi \sqrt{3}\) Ta có: \[ |v| \leq v_0 \implies \cos(\omega t + \phi) \leq \frac{v_0}{\omega A} \] Chú ý: \[ \frac{v_0}{\omega A} \leq 1 \] Khoảng thời gian trong 1 chu kỳ để \( |v| \leq v_0 \) là: \[ \Delta t = 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) \] Theo đề: \[ \Delta t = \frac{2T}{3} \] Thay \(\omega = \frac{2\pi}{T}\), ta có: \[ \frac{2T}{3} = 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) \implies \frac{2T}{3} = 2 \times \frac{T}{2\pi} \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) \] Rút gọn: \[ \frac{2T}{3} = \frac{T}{\pi} \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) \implies \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) = \frac{2\pi}{3} \] Tính: \[ \cos\left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} = \frac{v_0}{\omega A} \] Suy ra: \[ \frac{v_0}{\omega A} = -\frac{1}{2} \] Nhưng \(v_0 > 0\), \(\omega > 0\), \(A > 0\) nên dấu âm có thể do xét giá trị tuyệt đối, ta lấy: \[ \left| \frac{v_0}{\omega A} \right| = \frac{1}{2} \] hay \[ \frac{v_0}{\omega A} = \frac{1}{2} \] Thay số: \[ v_0 = 20 \pi \sqrt{3}, \quad A=10 \] \[ \frac{20 \pi \sqrt{3}}{\omega \times 10} = \frac{1}{2} \implies \omega = \frac{20 \pi \sqrt{3}}{10 \times \frac{1}{2}} = 20 \pi \sqrt{3} \times \frac{2}{10} = 4 \pi \sqrt{3} \] Chu kỳ: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4 \pi \sqrt{3}} = \frac{2}{4 \sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \approx \frac{1}{3.464} \approx 0.288\,s \] Trong các đáp án có sẵn, gần nhất là 0,5s. **Nhưng đáp án không khớp chính xác.** Kiểm tra lại bước lấy \(\arccos\): \[ \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \cos\left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} \] Như vậy, \( \frac{v_0}{\omega A} = -\frac{1}{2} \) không thể xảy ra với giá trị dương. Do đó, ta phải lấy: \[ \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) = \frac{\pi}{3} \] vì thời gian khoảng vận tốc nhỏ hơn \(v_0\) là \(2 \times \frac{1}{\omega} \arccos(...) \leq T\). Thay: \[ \frac{2T}{3} = 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) \] \[ \implies \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) = \frac{\omega T}{3} = \frac{2 \pi}{3} \] Như trên, có vẻ mâu thuẫn. Vì vậy ta xét lại: Khoảng thời gian trong 1 chu kỳ khi \( |v| \leq v_0 \) là: \[ \Delta t = 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{v_{max}} \right) \] Ta có: \[ \Delta t = \frac{2T}{3} \implies 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) = \frac{2T}{3} = \frac{2 \times 2\pi}{3\omega} \] Do \( T = \frac{2\pi}{\omega} \). Rút gọn: \[ 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) = \frac{4\pi}{3\omega} \implies \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) = \frac{2\pi}{3} \] Như trên, \(\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\), mâu thuẫn vì tỉ số phải dương. Do đó, phải chọn: \[ \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) = \frac{\pi}{3} \] vì thời gian \( \Delta t \) cũng có thể là: \[ \Delta t = T - 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) \] Nếu ta lấy: \[ \Delta t = \frac{2T}{3} = T - 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) \] \[ \implies 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) = T - \frac{2T}{3} = \frac{T}{3} \] \[ \implies \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) = \frac{\omega T}{6} = \frac{\pi}{3} \] Do \( T = \frac{2\pi}{\omega} \). Vậy: \[ \arccos\left( \frac{v_0}{\omega A} \right) = \frac{\pi}{3} \implies \frac{v_0}{\omega A} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \] Suy ra: \[ \omega = \frac{v_0}{A \times \frac{1}{2}} = \frac{2 v_0}{A} = \frac{2 \times 20 \pi \sqrt{3}}{10} = 4 \pi \sqrt{3} \] Chu kỳ: \[ T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{4 \pi \sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \approx 0.288\,s \] Vậy chọn đáp án gần nhất là **0,5s (D)**. --- **Câu 3:** - Biên độ \(A=8\,cm\) - Tốc độ không nhỏ hơn \(v \geq 40 \pi \sqrt{3} cm/s\) - Thời gian trong 1 chu kỳ khi \(v \geq v_0\) là \(\frac{T}{3}\) Giải: Vận tốc cực đại: \[ v_{max} = \omega A \] Khoảng thời gian tốc độ lớn hơn \(v_0\) là: \[ \Delta t = 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{v_{max}} \right) \] Tuy nhiên, tốc độ lớn hơn \(v_0\) tương đương: \[ |v| \geq v_0 \implies \cos(\omega t + \phi) \leq \frac{v_0}{v_{max}} \] Nhưng khoảng thời gian này là: \[ \Delta t = T - 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{v_{max}} \right) \] Theo đề bài: \[ \Delta t = \frac{T}{3} \] Thay: \[ \frac{T}{3} = T - 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{v_{max}} \right) \] \[ \Rightarrow 2 \times \frac{1}{\omega} \arccos\left( \frac{v_0}{v_{max}} \right) = T - \frac{T}{3} = \frac{2T}{3} \] \[ \Rightarrow \arccos\left( \frac{v_0}{v_{max}} \right) = \frac{\omega T}{3} = \frac{2\pi}{3} \] Vì \(T = \frac{2\pi}{\omega}\). Từ đó: \[ \frac{v_0}{v_{max}} = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \] Không thể là âm, lấy giá trị đối xứng: \[ \arccos\left( \frac{v_0}{v_{max}} \right) = \frac{\pi}{3} \] Thử lại: Nếu lấy \(\arccos = \frac{\pi}{3}\), thì: \[ 2 \times \frac{1}{\omega} \times \frac{\pi}{3} = \frac{2T}{3} \] Như vậy, đúng khi: \[ 2 \times \frac{\pi}{3 \omega} = \frac{2T}{3} \Rightarrow \frac{2\pi}{3 \omega} = \frac{2T}{3} \] \[ \Rightarrow \frac{\pi}{\omega} = T \Rightarrow T = \frac{\pi}{\omega} \] Mâu thuẫn với \(T = \frac{2\pi}{\omega}\). Do đó, đúng là: \[ \arccos\left( \frac{v_0}{v_{max}} \right) = \frac{2\pi}{3} \] Nhưng \( \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \), nên: Vì \(v_0 > 0\), vận tốc tối đa cũng dương, nên có thể do dấu của cos. Thay vào: \[ \frac{v_0}{v_{max}} = \frac{1}{2} \] Giải: \[ v_{max} = \omega A = \frac{v_0}{1/2} = 2 v_0 = 2 \times 40 \pi \sqrt{3} = 80 \pi \sqrt{3} \] Tính \(\omega\): \[ \omega = \frac{v_{max}}{A} = \frac{80 \pi \sqrt{3}}{8} = 10 \pi \sqrt{3} \] Chu kỳ: \[ T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{10 \pi \sqrt{3}} = \frac{2}{10 \sqrt{3}} = \frac{1}{5 \sqrt{3}} \approx \frac{1}{8.66} \approx 0.115s \] Chọn đáp án gần nhất: 0,1s (B). --- **Câu 4:** - Biên độ \(A=5\,cm\) - Gia tốc không vượt quá \(a \leq 100\,cm/s^2\) - Thời gian trong 1 chu kỳ khi \(a \leq 100\) là \(\frac{T}{3}\) - \(\pi^2=10\) Gia tốc: \[ a = \omega^2 x \] Gia tốc cực đại: \[ a_{max} = \omega^2 A \] Khoảng thời gian \( |a| \leq a_0 \): \[ |a| = \omega^2 |x| \leq a_0 \implies |x| \leq \frac{a_0}{\omega^2} \] Vị trí dao động: \[ x = A \sin(\omega t + \phi) \] Thời gian để \( |x| \leq x_0 = \frac{a_0}{\omega^2} \) trong một nửa chu kỳ là: \[ \Delta t = \frac{2}{\omega} \arcsin\left( \frac{x_0}{A} \right) = \frac{2}{\omega} \arcsin\left( \frac{a_0}{\omega^2 A} \right) \] Trong 1 chu kỳ, khoảng thời gian \( |a| \leq a_0 \) là: \[ \Delta t = 2 \times \frac{2}{\omega} \arcsin\left( \frac{a_0}{\omega^2 A} \right) = \frac{4}{\omega} \arcsin\left( \frac{a_0}{\omega^2 A} \right) \] Theo đề: \[ \Delta t = \frac{T}{3} = \frac{2\pi}{3 \omega} \] So sánh: \[ \frac{4}{\omega} \arcsin\left( \frac{a_0}{\omega^2 A} \right) = \frac{2\pi}{3 \omega} \] Cả hai bên cùng chia \(\frac{1}{\omega}\): \[ 4 \arcsin\left( \frac{a_0}{\omega^2 A} \right) = \frac{2 \pi}{3} \implies \arcsin\left( \frac{a_0}{\omega^2 A} \right) = \frac{\pi}{6} \] Từ đó: \[ \frac{a_0}{\omega^2 A} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \] Suy ra: \[ \omega^2 = \frac{2 a_0}{A} = \frac{2 \times 100}{5} = 40 \] \[ \omega = \sqrt{40} = 2 \pi f \Rightarrow f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{\sqrt{40}}{2 \pi} \] Thay \(\pi^2 = 10 \Rightarrow \pi = \sqrt{10}\): \[ f = \frac{\sqrt{40}}{2 \sqrt{10}} = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \sqrt{10}} = 1\,Hz \] **Đáp án: D. 1Hz** --- **Câu 5:** - Biên độ \(A=4\,cm\) - Gia tốc không nhỏ hơn \(a \geq 500\,cm/s^2\) - Thời gian trong 1 chu kỳ khi \(a \geq 500\) là \(\frac{2T}{3}\) - \(\pi^2=10\) Giải tương tự câu 4: Gia tốc: \[ a = \omega^2 x \] Khoảng thời gian \( |a| \geq a_0 \) trong chu kỳ là: \[ \Delta t = T - \Delta t_{|a| \leq a_0} \] Từ câu 4, ta có: \[ \Delta t_{|a| \leq a_0} = \frac{4}{\omega} \arcsin\left( \frac{a_0}{\omega^2 A} \right) \] Theo đề: \[ \Delta t_{|a| \geq a_0} = \frac{2T}{3} \implies \Delta t_{|a| \leq a_0} = T - \frac{2T}{3} = \frac{T}{3} \] Thay: \[ \frac{4}{\omega} \arcsin\left( \frac{a_0}{\omega^2 A} \right) = \frac{