Giúp mim vs ạ

Câu 24: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = y - x \) trên miền xác định bởi hệ bất phương trình, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình Hệ bất phương trình đã cho là: \[ \begin{cases} y - 2x \leq 2 \\ 2y - x \geq 4 \\ x + y \leq 5 \end{cases} \] - Bất phương trình \( y - 2x \leq 2 \) tương đương với \( y \leq 2x + 2 \). - Bất phương trình \( 2y - x \geq 4 \) tương đương với \( 2y \geq x + 4 \) hay \( y \geq \frac{x}{2} + 2 \). - Bất phương trình \( x + y \leq 5 \). Bước 2: Vẽ miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ 1. Đường thẳng \( y = 2x + 2 \) có điểm cắt trục tung tại \( (0, 2) \) và cắt trục hoành tại \( (-1, 0) \). 2. Đường thẳng \( y = \frac{x}{2} + 2 \) có điểm cắt trục tung tại \( (0, 2) \) và cắt trục hoành tại \( (-4, 0) \). 3. Đường thẳng \( x + y = 5 \) có điểm cắt trục tung tại \( (0, 5) \) và cắt trục hoành tại \( (5, 0) \). Bước 3: Tìm giao điểm của các đường thẳng - Giao điểm của \( y = 2x + 2 \) và \( y = \frac{x}{2} + 2 \): \[ 2x + 2 = \frac{x}{2} + 2 \implies 2x = \frac{x}{2} \implies x = 0 \] Thay \( x = 0 \) vào \( y = 2x + 2 \), ta được \( y = 2 \). Vậy giao điểm là \( (0, 2) \). - Giao điểm của \( y = 2x + 2 \) và \( x + y = 5 \): \[ y = 2x + 2 \quad \text{và} \quad x + y = 5 \implies x + (2x + 2) = 5 \implies 3x + 2 = 5 \implies 3x = 3 \implies x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào \( y = 2x + 2 \), ta được \( y = 4 \). Vậy giao điểm là \( (1, 4) \). - Giao điểm của \( y = \frac{x}{2} + 2 \) và \( x + y = 5 \): \[ y = \frac{x}{2} + 2 \quad \text{và} \quad x + y = 5 \implies x + \left(\frac{x}{2} + 2\right) = 5 \implies \frac{3x}{2} + 2 = 5 \implies \frac{3x}{2} = 3 \implies x = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào \( y = \frac{x}{2} + 2 \), ta được \( y = 3 \). Vậy giao điểm là \( (2, 3) \). Bước 4: Tính giá trị của \( F = y - x \) tại các đỉnh của miền nghiệm - Tại \( (0, 2) \), \( F = 2 - 0 = 2 \). - Tại \( (1, 4) \), \( F = 4 - 1 = 3 \). - Tại \( (2, 3) \), \( F = 3 - 2 = 1 \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( F = y - x \) là 1, đạt được khi \( x = 2, y = 3 \). Vậy đáp án đúng là A. min \( F = 1 \) khi \( x = 2, y = 3 \). Câu 25: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = y - x \) trên miền xác định bởi hệ bất phương trình, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình Hệ bất phương trình đã cho là: \[ \begin{cases} 2x + y \leq 2 \\ x - y \leq 2 \\ 5x + y \geq -4 \end{cases} \] - Bất phương trình \( 2x + y \leq 2 \) có đường biên là \( y = -2x + 2 \). - Bất phương trình \( x - y \leq 2 \) có đường biên là \( y = x - 2 \). - Bất phương trình \( 5x + y \geq -4 \) có đường biên là \( y = -5x - 4 \). Bước 2: Tìm giao điểm của các đường biên - Giao điểm của \( y = -2x + 2 \) và \( y = x - 2 \): \[ -2x + 2 = x - 2 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}, \quad y = x - 2 = \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{3} \] Giao điểm là \( \left( \frac{4}{3}, -\frac{2}{3} \right) \). - Giao điểm của \( y = -2x + 2 \) và \( y = -5x - 4 \): \[ -2x + 2 = -5x - 4 \implies 3x = -6 \implies x = -2, \quad y = -2(-2) + 2 = 6 \] Giao điểm là \( (-2, 6) \). - Giao điểm của \( y = x - 2 \) và \( y = -5x - 4 \): \[ x - 2 = -5x - 4 \implies 6x = -2 \implies x = -\frac{1}{3}, \quad y = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3} \] Giao điểm là \( \left( -\frac{1}{3}, -\frac{7}{3} \right) \). Bước 3: Xác định miền nghiệm Miền nghiệm là tam giác có các đỉnh: - \( \left( \frac{4}{3}, -\frac{2}{3} \right) \) - \( (-2, 6) \) - \( \left( -\frac{1}{3}, -\frac{7}{3} \right) \) Bước 4: Tính giá trị của \( F = y - x \) tại các đỉnh - Tại \( \left( \frac{4}{3}, -\frac{2}{3} \right) \): \[ F = -\frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -2 \] - Tại \( (-2, 6) \): \[ F = 6 - (-2) = 8 \] - Tại \( \left( -\frac{1}{3}, -\frac{7}{3} \right) \): \[ F = -\frac{7}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{6}{3} = -2 \] Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( F = y - x \) là \(-2\), đạt được tại hai điểm \( \left( \frac{4}{3}, -\frac{2}{3} \right) \) và \( \left( -\frac{1}{3}, -\frac{7}{3} \right) \). Do đó, đáp án đúng là C. \(\min F = -2\) khi \(x = \frac{4}{3}, y = -\frac{2}{3}\). Câu 26: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng khẳng định dựa trên hệ bất phương trình đã cho: Hệ bất phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y \leq 2 \\ 3x + 5y \leq 15 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array} \right. \] Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình 1. Bất phương trình \(x - y \leq 2\): - Đường thẳng \(x - y = 2\) có dạng \(y = x - 2\). - Miền nghiệm là nửa mặt phẳng dưới đường thẳng này. 2. Bất phương trình \(3x + 5y \leq 15\): - Đường thẳng \(3x + 5y = 15\) có dạng \(y = -\frac{3}{5}x + 3\). - Miền nghiệm là nửa mặt phẳng dưới đường thẳng này. 3. Bất phương trình \(x \geq 0\): - Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải trục tung. 4. Bất phương trình \(y \geq 0\): - Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành. Bước 2: Xác định các đỉnh của miền nghiệm - Giao điểm của \(x - y = 2\) và \(3x + 5y = 15\): \[ \begin{cases} x - y = 2 \\ 3x + 5y = 15 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: - Từ \(x - y = 2\), suy ra \(y = x - 2\). - Thay vào phương trình thứ hai: \(3x + 5(x - 2) = 15\). - Giải ra: \(3x + 5x - 10 = 15 \Rightarrow 8x = 25 \Rightarrow x = \frac{25}{8}\). - \(y = x - 2 = \frac{25}{8} - 2 = \frac{9}{8}\). - Giao điểm là \(B\left(\frac{25}{8}, \frac{9}{8}\right)\). - Giao điểm của \(x - y = 2\) và \(x = 0\): - Thay \(x = 0\) vào \(x - y = 2\), ta có \(0 - y = 2 \Rightarrow y = -2\), nhưng không thỏa mãn \(y \geq 0\). - Giao điểm của \(3x + 5y = 15\) và \(y = 0\): - Thay \(y = 0\) vào \(3x + 5y = 15\), ta có \(3x = 15 \Rightarrow x = 5\), nhưng không thỏa mãn \(x \leq 2\). - Giao điểm của \(x = 0\) và \(y = 0\) là \(O(0, 0)\). - Giao điểm của \(x - y = 2\) và \(y = 0\): - Thay \(y = 0\) vào \(x - y = 2\), ta có \(x = 2\). - Giao điểm là \(C(2, 0)\). - Giao điểm của \(3x + 5y = 15\) và \(x = 0\): - Thay \(x = 0\) vào \(3x + 5y = 15\), ta có \(5y = 15 \Rightarrow y = 3\). - Giao điểm là \(A(0, 3)\). Bước 3: Kiểm tra các khẳng định A. Miền nghiệm là tứ giác \(ABCO\) với các đỉnh \(A(0, 3)\), \(B\left(\frac{25}{8}, \frac{9}{8}\right)\), \(C(2, 0)\), \(O(0, 0)\). Khẳng định này đúng. B. Đường thẳng \(\Delta: x + y = m\) có giao điểm với tứ giác \(ABCO\) khi \(-1 \leq m \leq \frac{17}{4}\). Khẳng định này đúng. C. Giá trị lớn nhất của \(x + y\) là \(\frac{17}{4}\), đạt được tại điểm \(B\left(\frac{25}{8}, \frac{9}{8}\right)\). Khẳng định này đúng. D. Giá trị nhỏ nhất của \(x + y\) là \(0\), đạt được tại điểm \(O(0, 0)\). Khẳng định này đúng. Tất cả các khẳng định đều đúng, do đó không có khẳng định nào sai. Tuy nhiên, nếu phải chọn một khẳng định sai, có thể có lỗi trong đề bài hoặc cách diễn đạt. Câu 27: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( F(x, y) = x + 2y \) với các điều kiện cho trước, ta cần xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình: \[ \begin{cases} 0 \leq y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ x + 2y - 10 \leq 0 \end{cases} \] Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình 1. \( 0 \leq y \leq 4 \): Điều này có nghĩa là \( y \) nằm trong đoạn từ 0 đến 4. 2. \( x \geq 0 \): Điều này có nghĩa là \( x \) không âm. 3. \( x - y - 1 \leq 0 \) tương đương với \( x \leq y + 1 \). 4. \( x + 2y - 10 \leq 0 \) tương đương với \( x \leq 10 - 2y \). Bước 2: Xác định miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Từ các bất phương trình trên, ta có: - \( x \leq y + 1 \) - \( x \leq 10 - 2y \) Kết hợp với \( x \geq 0 \) và \( 0 \leq y \leq 4 \), ta xác định miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ \( (x, y) \). Bước 3: Tìm giao điểm của các đường thẳng - Giao điểm của \( x = y + 1 \) và \( x = 10 - 2y \): \[ y + 1 = 10 - 2y \implies 3y = 9 \implies y = 3 \] Thay \( y = 3 \) vào \( x = y + 1 \), ta được \( x = 4 \). Vậy giao điểm là \( (4, 3) \). - Giao điểm của \( x = y + 1 \) và \( y = 4 \): \[ x = 4 + 1 = 5 \] Vậy giao điểm là \( (5, 4) \). - Giao điểm của \( x = 10 - 2y \) và \( y = 4 \): \[ x = 10 - 2 \times 4 = 2 \] Vậy giao điểm là \( (2, 4) \). Bước 4: Tính giá trị của \( F(x, y) \) tại các đỉnh của miền nghiệm - Tại \( (4, 3) \): \( F(4, 3) = 4 + 2 \times 3 = 10 \). - Tại \( (5, 4) \): \( F(5, 4) = 5 + 2 \times 4 = 13 \). - Tại \( (2, 4) \): \( F(2, 4) = 2 + 2 \times 4 = 10 \). Bước 5: Kết luận Giá trị lớn nhất của \( F(x, y) \) là 10, đạt được tại các điểm \( (4, 3) \) và \( (2, 4) \). Vậy đáp án đúng là C. 10.