Giúp mik vs a

Câu 28: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F(x; y) = x - 2y \) với điều kiện: \[ \left\{ \begin{array}{l} 0 \leq y \leq 5 \\ x \geq 0 \\ x + y - 2 \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \end{array} \right. \] Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình. - Từ \( 0 \leq y \leq 5 \), ta có \( y \) nằm trong đoạn từ 0 đến 5. - Từ \( x \geq 0 \), ta có \( x \) không âm. - Từ \( x + y - 2 \geq 0 \), suy ra \( x \geq 2 - y \). - Từ \( x - y - 2 \leq 0 \), suy ra \( x \leq y + 2 \). Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình là tập hợp các điểm \((x, y)\) thỏa mãn tất cả các điều kiện trên. Bước 2: Tìm các đỉnh của miền nghiệm. Miền nghiệm là một đa giác lồi, do đó giá trị nhỏ nhất của \( F(x; y) \) sẽ đạt tại một trong các đỉnh của miền này. Ta sẽ tìm các đỉnh này bằng cách giải các cặp phương trình tương ứng với các cạnh của miền. 1. Giao của \( x = 2 - y \) và \( x = y + 2 \): \[ 2 - y = y + 2 \implies 2y = 0 \implies y = 0 \implies x = 2 \] Đỉnh: \((2, 0)\) 2. Giao của \( x = 2 - y \) và \( y = 5 \): \[ x = 2 - 5 = -3 \quad (\text{loại vì } x \geq 0) \] 3. Giao của \( x = y + 2 \) và \( y = 5 \): \[ x = 5 + 2 = 7 \] Đỉnh: \((7, 5)\) 4. Giao của \( x = 0 \) và \( x = 2 - y \): \[ 0 = 2 - y \implies y = 2 \] Đỉnh: \((0, 2)\) 5. Giao của \( x = 0 \) và \( x = y + 2 \): \[ 0 = y + 2 \implies y = -2 \quad (\text{loại vì } y \geq 0) \] Các đỉnh của miền nghiệm là: \((2, 0)\), \((7, 5)\), \((0, 2)\). Bước 3: Tính giá trị của \( F(x; y) \) tại các đỉnh. - Tại \((2, 0)\): \[ F(2, 0) = 2 - 2 \cdot 0 = 2 \] - Tại \((7, 5)\): \[ F(7, 5) = 7 - 2 \cdot 5 = 7 - 10 = -3 \] - Tại \((0, 2)\): \[ F(0, 2) = 0 - 2 \cdot 2 = -4 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của \( F(x; y) \) là \(-4\) đạt được tại \((0, 2)\). Tuy nhiên, chúng ta cần kiểm tra lại các giá trị đã tính ở trên để đảm bảo rằng chúng ta đã tìm đúng giá trị nhỏ nhất. - Tại \((2, 0)\): \[ F(2, 0) = 2 - 2 \cdot 0 = 2 \] - Tại \((7, 5)\): \[ F(7, 5) = 7 - 2 \cdot 5 = 7 - 10 = -3 \] - Tại \((0, 2)\): \[ F(0, 2) = 0 - 2 \cdot 2 = -4 \] Giá trị nhỏ nhất của \( F(x; y) \) là \(-4\) đạt được tại \((0, 2)\). Đáp án: \(\boxed{-4}\) Câu 29: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = y - x \) dưới các ràng buộc: \[ \begin{cases} -2x + y \leq 5 \\ x - 2y \leq 2 \\ x + y \leq 5 \\ x \geq 0 \end{cases} \] Trước tiên, ta sẽ vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ. 1. Vẽ đường thẳng \( -2x + y = 5 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = 5 \) - Khi \( y = 0 \), \( x = -\frac{5}{2} \) 2. Vẽ đường thẳng \( x - 2y = 2 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = -1 \) - Khi \( y = 0 \), \( x = 2 \) 3. Vẽ đường thẳng \( x + y = 5 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = 5 \) - Khi \( y = 0 \), \( x = 5 \) 4. Vẽ đường thẳng \( x = 0 \). Tiếp theo, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bằng cách kiểm tra các điểm nằm trong miền này. - Miền nghiệm của \( -2x + y \leq 5 \) là phía dưới đường thẳng \( -2x + y = 5 \). - Miền nghiệm của \( x - 2y \leq 2 \) là phía dưới đường thẳng \( x - 2y = 2 \). - Miền nghiệm của \( x + y \leq 5 \) là phía dưới đường thẳng \( x + y = 5 \). - Miền nghiệm của \( x \geq 0 \) là phía bên phải đường thẳng \( x = 0 \). Miền nghiệm chung của tất cả các bất phương trình là một đa giác lồi. Ta sẽ kiểm tra các đỉnh của đa giác này để tìm giá trị nhỏ nhất của \( F = y - x \). Các đỉnh của đa giác là giao điểm của các đường thẳng: - Giao điểm của \( -2x + y = 5 \) và \( x - 2y = 2 \): \[ \begin{cases} -2x + y = 5 \\ x - 2y = 2 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = 5 + 2x \\ x - 2(5 + 2x) = 2 \\ x - 10 - 4x = 2 \\ -3x = 12 \\ x = -4 \\ y = 5 + 2(-4) = -3 \end{cases} \] Đỉnh này không nằm trong miền \( x \geq 0 \). - Giao điểm của \( -2x + y = 5 \) và \( x + y = 5 \): \[ \begin{cases} -2x + y = 5 \\ x + y = 5 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = 5 + 2x \\ x + (5 + 2x) = 5 \\ 3x = 0 \\ x = 0 \\ y = 5 \end{cases} \] Đỉnh này là \( (0, 5) \). - Giao điểm của \( x - 2y = 2 \) và \( x + y = 5 \): \[ \begin{cases} x - 2y = 2 \\ x + y = 5 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x = 2 + 2y \\ (2 + 2y) + y = 5 \\ 3y = 3 \\ y = 1 \\ x = 2 + 2(1) = 4 \end{cases} \] Đỉnh này là \( (4, 1) \). - Giao điểm của \( x + y = 5 \) và \( x = 0 \): \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x = 0 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = 5 \\ x = 0 \end{cases} \] Đỉnh này là \( (0, 5) \). Cuối cùng, ta kiểm tra giá trị của \( F = y - x \) tại các đỉnh: - Tại \( (0, 5) \): \( F = 5 - 0 = 5 \) - Tại \( (4, 1) \): \( F = 1 - 4 = -3 \) Giá trị nhỏ nhất của \( F = y - x \) là \(-3\) tại điểm \( S(4, 1) \). Đáp án đúng là: \( A.~(4;1) \). Câu 30: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( L = y - x \) với các điều kiện từ hệ bất phương trình: \[ \begin{cases} 2x + 3y - 6 \leq 0 \\ x \geq 0 \\ 2x - 3y - 1 \leq 0 \end{cases} \] Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình 1. Bất phương trình \( 2x + 3y - 6 \leq 0 \) tương đương với \( 3y \leq -2x + 6 \) hay \( y \leq -\frac{2}{3}x + 2 \). 2. Bất phương trình \( 2x - 3y - 1 \leq 0 \) tương đương với \( 2x \leq 3y + 1 \) hay \( y \geq \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \). 3. Bất phương trình \( x \geq 0 \). Bước 2: Tìm giao điểm của các đường thẳng - Giao điểm của \( y = -\frac{2}{3}x + 2 \) và \( y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \): \[ -\frac{2}{3}x + 2 = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \] \[ 2 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}x \] \[ \frac{7}{3} = \frac{4}{3}x \Rightarrow x = \frac{7}{4} \] Thay \( x = \frac{7}{4} \) vào \( y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \): \[ y = \frac{2}{3} \times \frac{7}{4} - \frac{1}{3} = \frac{14}{12} - \frac{1}{3} = \frac{11}{12} \] Vậy giao điểm là \( \left( \frac{7}{4}, \frac{11}{12} \right) \). - Giao điểm của \( y = -\frac{2}{3}x + 2 \) và trục hoành \( x = 0 \): \[ y = 2 \] Vậy giao điểm là \( (0, 2) \). - Giao điểm của \( y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \) và trục hoành \( x = 0 \): \[ y = -\frac{1}{3} \] Vậy giao điểm là \( (0, -\frac{1}{3}) \). Bước 3: Xác định miền nghiệm Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh \( (0, 2) \), \( (0, -\frac{1}{3}) \), và \( \left( \frac{7}{4}, \frac{11}{12} \right) \). Bước 4: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( L = y - x \) - Tại \( (0, 2) \): \( L = 2 - 0 = 2 \). - Tại \( (0, -\frac{1}{3}) \): \( L = -\frac{1}{3} - 0 = -\frac{1}{3} \). - Tại \( \left( \frac{7}{4}, \frac{11}{12} \right) \): \( L = \frac{11}{12} - \frac{7}{4} = \frac{11}{12} - \frac{21}{12} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6} \). Kết luận: Giá trị lớn nhất của \( L \) là \( 2 \) và giá trị nhỏ nhất là \(-\frac{5}{6}\). Do đó, đáp án đúng là \( B.~a=2 \) và \( b=-\frac{11}{12} \). Tuy nhiên, có một sai sót trong đáp án B, giá trị nhỏ nhất phải là \(-\frac{5}{6}\) chứ không phải \(-\frac{11}{12}\). Vậy không có đáp án nào hoàn toàn chính xác trong các lựa chọn đã cho. Câu 31: Để giải bài toán này, chúng ta cần thiết lập các ràng buộc và mục tiêu để tối ưu hóa số điểm thưởng. Gọi \(a\) là số lít nước cam và \(b\) là số lít nước táo. Các ràng buộc: 1. Hương liệu: \(1a + 4b \leq 24\) 2. Nước: \(1a + 1b \leq 9\) 3. Đường: \(330a + 10b \leq 210\) Mục tiêu: Tối đa hóa số điểm thưởng \(P = 60a + 80b\). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra các ràng buộc và tìm giá trị tối ưu của \(a\) và \(b\). 1. Kiểm tra ràng buộc hương liệu: \[ a + 4b \leq 24 \] 2. Kiểm tra ràng buộc nước: \[ a + b \leq 9 \] 3. Kiểm tra ràng buộc đường: \[ 330a + 10b \leq 210 \] Chia cả hai vế cho 10: \[ 33a + b \leq 21 \] Bây giờ, chúng ta sẽ tìm các giá trị \(a\) và \(b\) thỏa mãn tất cả các ràng buộc và tối đa hóa \(P\). Kiểm tra các giá trị \(a\) và \(b\) trong khoảng từ 0 đến 9 (vì \(a + b \leq 9\)): - Nếu \(a = 0\): \[ 4b \leq 24 \implies b \leq 6 \] \[ b \leq 9 \] \[ b \leq 21 \] Vậy \(b = 6\). \[ P = 60(0) + 80(6) = 480 \] - Nếu \(a = 1\): \[ 1 + 4b \leq 24 \implies 4b \leq 23 \implies b \leq 5.75 \] \[ 1 + b \leq 9 \implies b \leq 8 \] \[ 33(1) + b \leq 21 \implies b \leq -12 \quad (\text{sai}) \] Vậy không có giá trị \(b\) nào thỏa mãn. - Nếu \(a = 2\): \[ 2 + 4b \leq 24 \implies 4b \leq 22 \implies b \leq 5.5 \] \[ 2 + b \leq 9 \implies b \leq 7 \] \[ 33(2) + b \leq 21 \implies b \leq -45 \quad (\text{sai}) \] Vậy không có giá trị \(b\) nào thỏa mãn. Tiếp tục kiểm tra các giá trị \(a\) khác, nhưng đều không thỏa mãn ràng buộc đường. Vậy giá trị tối ưu là \(a = 0\) và \(b = 6\). Hiệu số \(a - b = 0 - 6 = -6\). Đáp án: D. -6. Câu 32: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình và kiểm tra các phương án đã cho. Bước 1: Đặt ẩn số - Gọi \( x \) là diện tích trồng đậu (đơn vị: \( m^2 \)). - Gọi \( y \) là diện tích trồng cà (đơn vị: \( m^2 \)). Bước 2: Lập hệ phương trình - Tổng diện tích trồng đậu và cà là \( 800~m^2 \): \[ x + y = 800 \] - Tổng số công làm không quá 180 công: - Mỗi \( 100~m^2 \) đậu cần 20 công, nên \( x \) \( m^2 \) đậu cần \( \frac{20x}{100} = 0.2x \) công. - Mỗi \( 100~m^2 \) cà cần 30 công, nên \( y \) \( m^2 \) cà cần \( \frac{30y}{100} = 0.3y \) công. \[ 0.2x + 0.3y \leq 180 \] Bước 3: Kiểm tra các phương án A. Trồng \( 600~m^2 \) đậu; \( 200~m^2 \) cà. \[ x = 600, \quad y = 200 \] - Kiểm tra tổng diện tích: \[ x + y = 600 + 200 = 800 \quad (\text{thỏa mãn}) \] - Kiểm tra tổng số công: \[ 0.2x + 0.3y = 0.2(600) + 0.3(200) = 120 + 60 = 180 \quad (\text{thỏa mãn}) \] - Tính doanh thu: \[ \text{Doanh thu từ đậu} = \frac{3000000}{100} \times 600 = 18000000 \text{ đồng} \] \[ \text{Doanh thu từ cà} = \frac{4000000}{100} \times 200 = 8000000 \text{ đồng} \] \[ \text{Tổng doanh thu} = 18000000 + 8000000 = 26000000 \text{ đồng} \] B. Trồng \( 500~m^2 \) đậu; \( 300~m^2 \) cà. \[ x = 500, \quad y = 300 \] - Kiểm tra tổng diện tích: \[ x + y = 500 + 300 = 800 \quad (\text{thỏa mãn}) \] - Kiểm tra tổng số công: \[ 0.2x + 0.3y = 0.2(500) + 0.3(300) = 100 + 90 = 190 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] C. Trồng \( 400~m^2 \) đậu; \( 200~m^2 \) cà. \[ x = 400, \quad y = 200 \] - Kiểm tra tổng diện tích: \[ x + y = 400 + 200 = 600 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] D. Trồng \( 200~m^2 \) đậu; \( 600~m^2 \) cà. \[ x = 200, \quad y = 600 \] - Kiểm tra tổng diện tích: \[ x + y = 200 + 600 = 800 \quad (\text{thỏa mãn}) \] - Kiểm tra tổng số công: \[ 0.2x + 0.3y = 0.2(200) + 0.3(600) = 40 + 180 = 220 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] Kết luận: Phương án A là phương án đúng nhất vì nó thỏa mãn tất cả các điều kiện và mang lại doanh thu cao nhất. \[ \boxed{\text{A. Trồng } 600~m^2 \text{ đậu; } 200~m^2 \text{ cà}} \] Câu 33: Để giải bài toán này, chúng ta cần thiết lập các ràng buộc và mục tiêu để tìm ra số lượng xe A và xe B sao cho chi phí vận chuyển là thấp nhất. Gọi \( x \) là số xe loại A và \( y \) là số xe loại B. Các ràng buộc: 1. Tổng số người chở được phải lớn hơn 140: \[ 20x + 10y > 140 \] 2. Tổng số hàng chở được phải lớn hơn 9 tấn: \[ 0.6x + 1.5y > 9 \] 3. Số xe loại A không vượt quá 10: \[ x \leq 10 \] 4. Số xe loại B không vượt quá 9: \[ y \leq 9 \] Mục tiêu: Tối thiểu hóa chi phí vận chuyển: \[ \text{Chi phí} = 4x + 3y \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm ra đáp án đúng. A. 4 xe A và 5 xe B: - Người: \( 20 \times 4 + 10 \times 5 = 80 + 50 = 130 \) (không đủ) - Hàng: \( 0.6 \times 4 + 1.5 \times 5 = 2.4 + 7.5 = 9.9 \) (đủ) - Chi phí: \( 4 \times 4 + 3 \times 5 = 16 + 15 = 31 \) triệu B. 5 xe A và 6 xe B: - Người: \( 20 \times 5 + 10 \times 6 = 100 + 60 = 160 \) (đủ) - Hàng: \( 0.6 \times 5 + 1.5 \times 6 = 3 + 9 = 12 \) (đủ) - Chi phí: \( 4 \times 5 + 3 \times 6 = 20 + 18 = 38 \) triệu C. 5 xe A và 4 xe B: - Người: \( 20 \times 5 + 10 \times 4 = 100 + 40 = 140 \) (đủ) - Hàng: \( 0.6 \times 5 + 1.5 \times 4 = 3 + 6 = 9 \) (đủ) - Chi phí: \( 4 \times 5 + 3 \times 4 = 20 + 12 = 32 \) triệu D. 6 xe A và 4 xe B: - Người: \( 20 \times 6 + 10 \times 4 = 120 + 40 = 160 \) (đủ) - Hàng: \( 0.6 \times 6 + 1.5 \times 4 = 3.6 + 6 = 9.6 \) (đủ) - Chi phí: \( 4 \times 6 + 3 \times 4 = 24 + 12 = 36 \) triệu So sánh chi phí của các đáp án: - Đáp án A: 31 triệu - Đáp án B: 38 triệu - Đáp án C: 32 triệu - Đáp án D: 36 triệu Như vậy, đáp án A có chi phí thấp nhất. Đáp án: A. 4 xe A và 5 xe B. Câu 34: Để giải bài toán này, chúng ta cần thiết lập các bất phương trình dựa trên yêu cầu về protein và lipit, cũng như giới hạn về số lượng thịt bò và thịt lợn mà gia đình có thể mua. Sau đó, chúng ta sẽ tìm giá trị của \(x\) và \(y\) sao cho tổng số tiền phải trả là ít nhất. 1. Xác định các biến và điều kiện: - Gọi \(x\) là số kg thịt bò. - Gọi \(y\) là số kg thịt lợn. - Điều kiện: \(0 \leq x \leq 1,6\) và \(0 \leq y \leq 1,1\). 2. Lập các bất phương trình dựa trên yêu cầu về protein và lipit: - Protein: \(800x + 600y \geq 900\) - Lipit: \(200x + 400y \geq 400\) 3. Giải các bất phương trình: - Từ bất phương trình protein: \(800x + 600y \geq 900\) \[ 800x + 600y \geq 900 \implies 4x + 3y \geq 4,5 \] - Từ bất phương trình lipit: \(200x + 400y \geq 400\) \[ 200x + 400y \geq 400 \implies x + 2y \geq 2 \] 4. Tìm giá trị của \(x\) và \(y\) sao cho tổng số tiền phải trả là ít nhất: - Tổng số tiền phải trả: \(160x + 110y\) - Chúng ta cần tìm \(x\) và \(y\) thỏa mãn các bất phương trình trên và làm tối thiểu hóa tổng số tiền. 5. Kiểm tra các điểm biên: - Kiểm tra \(x = 1,6\): \[ 4(1,6) + 3y \geq 4,5 \implies 6,4 + 3y \geq 4,5 \implies 3y \geq -1,9 \implies y \geq -0,633 \quad (\text{luôn đúng}) \] \[ 1,6 + 2y \geq 2 \implies 2y \geq 0,4 \implies y \geq 0,2 \] - Vậy \(0,2 \leq y \leq 1,1\). - Kiểm tra \(x = 0\): \[ 4(0) + 3y \geq 4,5 \implies 3y \geq 4,5 \implies y \geq 1,5 \quad (\text{không thỏa mãn vì } y \leq 1,1) \] \[ 0 + 2y \geq 2 \implies 2y \geq 2 \implies y \geq 1 \] - Vậy \(1 \leq y \leq 1,1\). 6. Tìm giá trị tối ưu: - Kiểm tra \(x = 1,6\) và \(y = 0,2\): \[ 160(1,6) + 110(0,2) = 256 + 22 = 278 \quad (\text{đồng}) \] - Kiểm tra \(x = 1,6\) và \(y = 1,1\): \[ 160(1,6) + 110(1,1) = 256 + 121 = 377 \quad (\text{đồng}) \] - Kiểm tra \(x = 0\) và \(y = 1\): \[ 160(0) + 110(1) = 110 \quad (\text{đồng}) \] 7. Kết luận: - Giá trị tối ưu là \(x = 0\) và \(y = 1\). - Tính \(x^2 + y^2\): \[ x^2 + y^2 = 0^2 + 1^2 = 1 \] Đáp án: \(C.~x^2+y^2=1,09.\)