Giúp tôi với

Câu 1: Để tính $\cos\alpha$ khi biết $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ và $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, ta sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ vào phương trình trên, ta có: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{1}{9} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} \] \[ \cos^2\alpha = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \] \[ \cos^2\alpha = \frac{8}{9} \] Từ đó, ta có hai giá trị có thể có của $\cos\alpha$: \[ \cos\alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, góc $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ II, nơi mà $\cos\alpha$ có giá trị âm. Do đó, ta chọn: \[ \cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \] Vậy đáp án đúng là $D.~\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Câu 2: Để tính biểu thức \( P = 3\sin^2 x + 4\cos^2 x \) khi biết \( \cos x = \frac{1}{2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(\sin^2 x\) và \(\cos^2 x\): - Ta biết rằng \( \cos x = \frac{1}{2} \). - Do đó, \( \cos^2 x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \). 2. Sử dụng công thức Pythagoras trong lượng giác: - Công thức Pythagoras cho ta \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). - Thay giá trị của \( \cos^2 x \) vào công thức này, ta có: \[ \sin^2 x + \frac{1}{4} = 1 \] - Giải phương trình này để tìm \( \sin^2 x \): \[ \sin^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] 3. Thay giá trị của \(\sin^2 x\) và \(\cos^2 x\) vào biểu thức \(P\): - Biểu thức \( P \) là: \[ P = 3\sin^2 x + 4\cos^2 x \] - Thay \( \sin^2 x = \frac{3}{4} \) và \( \cos^2 x = \frac{1}{4} \) vào biểu thức: \[ P = 3 \left( \frac{3}{4} \right) + 4 \left( \frac{1}{4} \right) \] - Tính toán: \[ P = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{13}{4} \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( \frac{13}{4} \). Đáp án đúng là: \( A. \frac{13}{4} \). Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các phép biến đổi đại số. Cho \( \alpha \) là một góc từ \( 0^\circ \) đến \( 180^\circ \) thỏa mãn \( \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{5}{2} \) và \( \sin \alpha > \cos \alpha \). Chúng ta cần tính \( \sin \alpha \). Trước tiên, ta biết rằng: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] \[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \] Do đó: \[ \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \] Theo định lý Pythagoras, ta có: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Vậy: \[ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{5}{2} \] \[ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{5} \] Tiếp theo, ta sử dụng công thức: \[ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \] \[ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha \] Ta có: \[ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \cdot \frac{2}{5} = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5} \] \[ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{2}{5} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \] Do \( \sin \alpha > \cos \alpha \), nên: \[ \sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \] \[ \sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \] Cộng hai phương trình này lại: \[ 2 \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \] \[ \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \] Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \(\tan\alpha\) khi biết \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{2}{5}\) và \(\tan\alpha < 1\). Bước 1: Sử dụng công thức lượng giác Ta có công thức: \[ \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \] Do đó: \[ \frac{1}{2} \sin 2\alpha = \frac{2}{5} \] Suy ra: \[ \sin 2\alpha = \frac{4}{5} \] Bước 2: Tìm \(\tan\alpha\) Ta có công thức: \[ \tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} \] Vì \(\sin 2\alpha = \frac{4}{5}\), ta có: \[ \tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{\sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \] Bước 3: Giải phương trình Ta giải phương trình: \[ \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} = \frac{4}{3} \] Nhân chéo, ta có: \[ 6\tan\alpha = 4(1 - \tan^2\alpha) \] \[ 6\tan\alpha = 4 - 4\tan^2\alpha \] Chuyển vế, ta có: \[ 4\tan^2\alpha + 6\tan\alpha - 4 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ \tan\alpha = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 4\), \(b = 6\), \(c = -4\), ta có: \[ b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 36 + 64 = 100 \] \[ \tan\alpha = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{8} = \frac{-6 \pm 10}{8} \] \[ \tan\alpha_1 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] \[ \tan\alpha_2 = \frac{-16}{8} = -2 \] Bước 5: Chọn nghiệm phù hợp Vì \(\tan\alpha < 1\) và \(\tan\alpha\) phải dương (do \(\alpha\) thuộc góc phần tư I hoặc II), nên ta chọn \(\tan\alpha = \frac{1}{2}\). Vậy, giá trị của \(\tan\alpha\) là \(\frac{1}{2}\). Đáp án đúng là \(B.~\tan\alpha = \frac{1}{2}\). Câu 6: Để tính góc \( A \) của tam giác \( ABC \) với các cạnh \( a = 24 \), \( b = 13 \), \( c = 15 \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho biết: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ 24^2 = 13^2 + 15^2 - 2 \cdot 13 \cdot 15 \cdot \cos A \] Tính các bình phương: \[ 576 = 169 + 225 - 390 \cdot \cos A \] Cộng hai số hạng bên phải: \[ 576 = 394 - 390 \cdot \cos A \] Chuyển vế và tính toán: \[ 390 \cdot \cos A = 394 - 576 \] \[ 390 \cdot \cos A = -182 \] Tìm \(\cos A\): \[ \cos A = \frac{-182}{390} \] \[ \cos A = -\frac{91}{195} \] Bây giờ, ta cần tìm góc \( A \) sao cho \(\cos A = -\frac{91}{195}\). Sử dụng bảng giá trị cosin hoặc máy tính để tìm góc \( A \): Góc \( A \approx 117^\circ 49^\prime \). Vậy đáp án đúng là \( B.~117^\circ 49^\prime \). Câu 7: Để tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: \[ R = \frac{a}{2\sin A} \] Trong đó: - \( a \) là độ dài cạnh đối diện với góc \( A \). - \( A \) là góc tại đỉnh \( A \). Theo đề bài, ta có: - \(\widehat{BAC} = 60^\circ\) - \(BC = \sqrt{3}\) Do đó, \( a = BC = \sqrt{3} \) và \( A = 60^\circ \). Áp dụng công thức, ta có: \[ R = \frac{\sqrt{3}}{2\sin 60^\circ} \] Ta biết rằng \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Thay vào công thức, ta được: \[ R = \frac{\sqrt{3}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 \] Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \( R = 1 \). Đáp án đúng là \( B.~R=1. \) Câu 8: Để tính độ dài cạnh \( AC \) của tam giác \( ABC \), ta sẽ sử dụng định lý sin trong tam giác. Trước tiên, ta cần xác định góc \( \widehat{ACB} \) của tam giác \( ABC \). Ta có: \[ \widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{ABC} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \] Áp dụng định lý sin trong tam giác \( ABC \), ta có: \[ \frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ \frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ} \] Biết rằng \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) và \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), ta thay vào phương trình: \[ \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] Giải phương trình trên, ta nhân chéo: \[ 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Rút gọn: \[ 5\sqrt{2} = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Nhân cả hai vế với \( \frac{2}{\sqrt{3}} \): \[ AC = \frac{5\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] Rút gọn phân số: \[ AC = \frac{10\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{6}}{3} \] Vậy độ dài cạnh \( AC \) là \( \frac{10\sqrt{6}}{3} \). Đáp án đúng là \( B. \frac{10\sqrt{6}}{3} \). Câu 9: Để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), ta cần sử dụng công thức liên quan đến góc và cạnh của tam giác. Đầu tiên, ta có: 1. Điều kiện xác định: Tam giác \(ABC\) có các cạnh và góc hợp lệ, không có điều kiện đặc biệt cần xét ở đây. 2. Sử dụng công thức lượng giác: Ta biết rằng \(\cot(A+B) = 3\). Theo công thức lượng giác, ta có: \[ \cot(A+B) = \frac{\cos(A+B)}{\sin(A+B)} \] Do đó, \(\cos(A+B) = 3\sin(A+B)\). 3. Công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp: Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác có thể được tính bằng công thức: \[ R = \frac{c}{2\sin C} \] Trong đó \(c\) là độ dài cạnh đối diện góc \(C\). 4. Tính toán cụ thể: - Ta có \(\cot(A+B) = 3\), điều này có nghĩa là \(\tan(A+B) = \frac{1}{3}\). - Sử dụng công thức \(\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\), nhưng do không có thông tin cụ thể về \(\tan A\) và \(\tan B\), ta cần tìm cách khác để tính \(R\). 5. Sử dụng công thức lượng giác khác: - Ta biết rằng \(\sin(A+B) = \frac{1}{\sqrt{10}}\) và \(\cos(A+B) = \frac{3}{\sqrt{10}}\) từ \(\tan(A+B) = \frac{1}{3}\). - Sử dụng công thức \(\sin C = \sin(\pi - (A+B)) = \sin(A+B)\), do đó \(\sin C = \frac{1}{\sqrt{10}}\). 6. Tính bán kính \(R\): - Với \(AB = 2a\), ta có \(c = 2a\). - Thay vào công thức bán kính: \[ R = \frac{2a}{2 \times \frac{1}{\sqrt{10}}} = \frac{2a \sqrt{10}}{2} = a\sqrt{10} \] Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(a\sqrt{10}\). Đáp án đúng là \(D.~a\sqrt{10}\). Câu 10: Để tìm độ dài đoạn thẳng \( DF \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Giả sử hình vuông \( ABCD \) có cạnh bằng \( a \) và tọa độ các điểm như sau: - \( A(0, 0) \) - \( B(a, 0) \) - \( C(a, a) \) - \( D(0, a) \) 2. Tìm tọa độ điểm \( E \): - \( E \) là trung điểm của \( BC \), do đó tọa độ của \( E \) là: \[ E\left(\frac{a + a}{2}, \frac{0 + a}{2}\right) = (a, \frac{a}{2}) \] 3. Tìm tọa độ điểm \( F \): - \( F \) là trung điểm của \( AE \), do đó tọa độ của \( F \) là: \[ F\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + \frac{a}{2}}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{4}\right) \] 4. Tính độ dài đoạn thẳng \( DF \): - Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \( D(0, a) \) và \( F\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{4}\right) \): \[ DF = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{4} - a\right)^2} \] \[ = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3a}{4}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{9a^2}{16}} \] \[ = \sqrt{\frac{4a^2}{16} + \frac{9a^2}{16}} \] \[ = \sqrt{\frac{13a^2}{16}} \] \[ = \frac{a\sqrt{13}}{4} \] Vậy độ dài đoạn thẳng \( DF \) là \( \frac{a\sqrt{13}}{4} \). Đáp án đúng là \( A. \frac{a\sqrt{13}}{4} \). Câu 11: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng công thức tính diện tích tam giác dựa vào hai cạnh và góc xen giữa. Công thức này là: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin C \] Giả sử tam giác ban đầu là tam giác \( ABC \) với diện tích \( S \). Khi tăng độ dài mỗi cạnh \( BC \) và \( AC \) lên hai lần, ta có tam giác mới với các cạnh là \( BC' = 2 \times BC \) và \( AC' = 2 \times AC \), và góc \( C \) vẫn giữ nguyên. Diện tích của tam giác mới \( A'B'C' \) sẽ là: \[ S' = \frac{1}{2} \times BC' \times AC' \times \sin C \] Thay \( BC' = 2 \times BC \) và \( AC' = 2 \times AC \) vào công thức trên, ta được: \[ S' = \frac{1}{2} \times (2 \times BC) \times (2 \times AC) \times \sin C \] \[ S' = \frac{1}{2} \times 4 \times BC \times AC \times \sin C \] \[ S' = 4 \times \left(\frac{1}{2} \times BC \times AC \times \sin C\right) \] \[ S' = 4 \times S \] Vậy diện tích của tam giác mới là \( 4S \). Do đó, đáp án đúng là C. 4S. Câu 12: Để tìm số đo góc \( A \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A \] Theo đề bài, diện tích tam giác \( ABC \) là \( 50\sqrt{3} \), do đó ta có phương trình: \[ \frac{1}{2} \times 20 \times 10 \times \sin A = 50\sqrt{3} \] Rút gọn phương trình: \[ 100 \times \sin A = 100\sqrt{3} \] Chia cả hai vế cho 100: \[ \sin A = \sqrt{3}/2 \] Ta biết rằng \(\sin A = \sqrt{3}/2\) khi \(A = 60^\circ\) hoặc \(A = 120^\circ\). Tuy nhiên, vì góc \(A\) là góc tù, nên \(A\) phải lớn hơn \(90^\circ\). Do đó, \(A = 120^\circ\). Vậy số đo góc \( A \) là \(120^\circ\). Đáp án đúng là \(C.~120^\circ\).