Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm I và II. Mỗi sản phẩm I bán lại 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm II bán lại 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm I...

Gọi x là số sản phẩm loại I, y là số sản phẩm loại II mà xưởng sản xuất trong một tháng. Điều kiện xác định: - x ≥ 0 - y ≥ 0 Thời gian làm việc của Chiến và Bình: - Chiến làm việc trong 3 giờ cho mỗi sản phẩm loại I và 2 giờ cho mỗi sản phẩm loại II. Tổng thời gian làm việc của Chiến không vượt quá 180 giờ. - Bình làm việc trong 1 giờ cho mỗi sản phẩm loại I và 6 giờ cho mỗi sản phẩm loại II. Tổng thời gian làm việc của Bình không vượt quá 220 giờ. Ta có hệ bất phương trình: \[ \begin{cases} 3x + 2y \leq 180 \\ x + 6y \leq 220 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \] Lợi nhuận từ việc sản xuất các sản phẩm: - Mỗi sản phẩm loại I mang lại lợi nhuận 500 nghìn đồng. - Mỗi sản phẩm loại II mang lại lợi nhuận 400 nghìn đồng. Hàm mục tiêu cần tối đa hóa là: \[ P = 500x + 400y \] Bây giờ ta sẽ vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình và tìm điểm cực trị của hàm mục tiêu. 1. Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình: - Đường thẳng \(3x + 2y = 180\) cắt trục hoành tại \(x = 60\) và trục tung tại \(y = 90\). - Đường thẳng \(x + 6y = 220\) cắt trục hoành tại \(x = 220\) và trục tung tại \(y = \frac{220}{6} \approx 36.67\). Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác giới hạn bởi các đường thẳng này và các trục tọa độ. 2. Tìm các đỉnh của miền nghiệm: - Giao điểm của \(3x + 2y = 180\) và \(x + 6y = 220\): \[ \begin{cases} 3x + 2y = 180 \\ x + 6y = 220 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ hai với 3: \[ \begin{cases} 3x + 2y = 180 \\ 3x + 18y = 660 \end{cases} \] Trừ hai phương trình: \[ 16y = 480 \implies y = 30 \] Thay \(y = 30\) vào \(x + 6y = 220\): \[ x + 6(30) = 220 \implies x = 40 \] Vậy giao điểm là \((40, 30)\). Các đỉnh còn lại là \((0, 0)\), \((60, 0)\), \((0, 36.67)\). 3. Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh: - Tại \((0, 0)\): \[ P = 500(0) + 400(0) = 0 \] - Tại \((60, 0)\): \[ P = 500(60) + 400(0) = 30000 \] - Tại \((0, 36.67)\): \[ P = 500(0) + 400(36.67) \approx 14668 \] - Tại \((40, 30)\): \[ P = 500(40) + 400(30) = 20000 + 12000 = 32000 \] Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu là 32000 nghìn đồng, đạt được khi \(x = 40\) và \(y = 30\). Vậy số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32000 nghìn đồng.