Cho hình thang vuông abcd có góc A=B=90 độ BC=2AD=2a, gọi h là hình chiếu vuông góc của B lên AC; M là trung điểm HC.Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ \triangle BDM $.

Bước 1: Xác định các điểm và độ dài đoạn thẳng

- Hình thang vuông $ ABCD $ có $ \angle A = \angle B = 90^\circ $.
- $ BC = 2AD = 2a $, do đó $ AD = a $.
- $ AB = AD = a $ (vì $ \angle A = 90^\circ $).

Bước 2: Tìm tọa độ các điểm

Giả sử $ A(0, 0) $, $ D(a, 0) $, $ B(0, a) $, $ C(a, a) $.

Bước 3: Tìm hình chiếu $ H $ của $ B $ lên $ AC $

- Đường thẳng $ AC $ có phương trình: $ y = x $.
- Đường thẳng vuông góc với $ AC $ qua $ B(0, a) $ có phương trình: $ y = -x + a $.
- Giao điểm của hai đường thẳng này là điểm $ H $.

Giải hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
y = x \
y = -x + a
\end{cases}
$$
Ta có: $ x = -x + a \Rightarrow 2x = a \Rightarrow x = \frac{a}{2} $.

Vậy $ H \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right) $.

Bước 4: Tìm trung điểm $ M $ của $ HC $

- Tọa độ $ C(a, a) $.
- Trung điểm $ M $ của $ HC $ có tọa độ:
$$
M \left( \frac{\frac{a}{2} + a}{2}, \frac{\frac{a}{2} + a}{2} \right) = \left( \frac{3a}{4}, \frac{3a}{4} \right)
$$

Bước 5: Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ \triangle BDM $

- Tọa độ các điểm: $ B(0, a) $, $ D(a, 0) $, $ M\left( \frac{3a}{4}, \frac{3a}{4} \right) $.

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác.

Bước 6: Tính toán

- Đường trung trực của $ BD $ có phương trình:
  - Trung điểm của $ BD $ là $ \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right) $.
  - Phương trình: $ y = x $.

- Đường trung trực của $ BM $ có phương trình:
  - Trung điểm của $ BM $ là $ \left( \frac{3a}{8}, \frac{5a}{8} \right) $.
  - Phương trình: $ y = -x + \frac{a}{2} $.

Giải hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
y = x \
y = -x + \frac{a}{2}
\end{cases}
$$
Ta có: $ x = -x + \frac{a}{2} \Rightarrow 2x = \frac{a}{2} \Rightarrow x = \frac{a}{4} $.

Vậy tâm $ O \left( \frac{a}{4}, \frac{a}{4} \right) $.

Bước 7: Tính bán kính

Bán kính $ R $ là khoảng cách từ $ O $ đến một trong ba điểm $ B, D, M $.

Tính $ OB $:
$$
OB = \sqrt{\left( \frac{a}{4} - 0 \right)^2 + \left( \frac{a}{4} - a \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{a}{4} \right)^2 + \left( -\frac{3a}{4} \right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{9a^2}{16}} = \sqrt{\frac{10a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{10}}{4}
$$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ \triangle BDM $ là $ \frac{a\sqrt{10}}{4} $.

Kết luận:

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ \triangle BDM $ là $ O \left( \frac{a}{4}, \frac{a}{4} \right) $ và bán kính là $ \frac{a\sqrt{10}}{4} $.