Bài 2: Một học sinh dự định làm các bình hoa bằng giấy để bán trong một hội chợ gây quỹ từ thiện. Cần 1 giờ để làm một bình hoa loại nhỏ và sẽ bán với giá 100 nghìn đồng, 1,5 giờ để làm một bình hoa lo...

Bài 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng bình hoa loại nhỏ và loại lớn mà học sinh cần làm để tối đa hóa số tiền gây quỹ từ thiện, đồng thời đáp ứng các điều kiện về thời gian và số lượng bình hoa. Gọi \( x \) là số lượng bình hoa loại nhỏ và \( y \) là số lượng bình hoa loại lớn. Các điều kiện của bài toán: 1. Thời gian tổng cộng không vượt quá 15 giờ: \[ 1x + 1,5y \leq 15 \] 2. Số lượng bình hoa tối thiểu là 12: \[ x + y \geq 12 \] Mục tiêu là tối đa hóa số tiền gây quỹ từ thiện: \[ T = 100x + 200y \] Bây giờ, chúng ta sẽ tìm các giá trị \( x \) và \( y \) thỏa mãn các điều kiện trên và tối đa hóa \( T \). Bước 1: Xác định miền khả thi Miền khả thi là tập hợp các điểm \((x, y)\) thỏa mãn cả hai điều kiện: 1. \( 1x + 1,5y \leq 15 \) 2. \( x + y \geq 12 \) Bước 2: Tìm các đỉnh của miền khả thi Chúng ta sẽ tìm các điểm giao của các đường thẳng: 1. \( 1x + 1,5y = 15 \) 2. \( x + y = 12 \) Giao của \( 1x + 1,5y = 15 \) và \( x + y = 12 \): Thay \( y = 12 - x \) vào \( 1x + 1,5y = 15 \): \[ x + 1,5(12 - x) = 15 \\ x + 18 - 1,5x = 15 \\ -0,5x + 18 = 15 \\ -0,5x = -3 \\ x = 6 \] Thay \( x = 6 \) vào \( y = 12 - x \): \[ y = 12 - 6 = 6 \] Vậy một đỉnh là \((6, 6)\). Giao của \( 1x + 1,5y = 15 \) với trục \( y \): \[ 1x + 1,5y = 15 \\ 1,5y = 15 \\ y = 10 \] Vậy một đỉnh là \((0, 10)\). Giao của \( x + y = 12 \) với trục \( x \): \[ x + y = 12 \\ y = 0 \\ x = 12 \] Vậy một đỉnh là \((12, 0)\). Bước 3: Tính giá trị mục tiêu tại các đỉnh 1. Tại \((6, 6)\): \[ T = 100(6) + 200(6) = 600 + 1200 = 1800 \text{ nghìn đồng} \] 2. Tại \((0, 10)\): \[ T = 100(0) + 200(10) = 0 + 2000 = 2000 \text{ nghìn đồng} \] 3. Tại \((12, 0)\): \[ T = 100(12) + 200(0) = 1200 + 0 = 1200 \text{ nghìn đồng} \] Bước 4: Kết luận Giá trị lớn nhất của \( T \) là 2000 nghìn đồng, đạt được khi \( x = 0 \) và \( y = 10 \). Vậy học sinh cần làm 0 bình hoa loại nhỏ và 10 bình hoa loại lớn để gây quỹ từ thiện được nhiều tiền nhất. Bài 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình và tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Bước 1: Đặt ẩn số Gọi x là số lít nước nhô loại A và y là số lít nước nhô loại B mà anh Thức cần pha chế. Bước 2: Lập hệ phương trình - Số đường cần dùng để pha chế x lít nước nhô loại A và y lít nước nhô loại B là: 10x + 10y (gam) - Số bột nhô cần dùng để pha chế x lít nước nhô loại A và y lít nước nhô loại B là: 1x + 4y (gam) Theo đề bài, anh Thức có 25 g bột nhô loại A và 100 g bột nhô loại B: \[ 1x + 4y \leq 25 \] \[ 10x + 10y \leq 100 \] Bước 3: Tìm lợi nhuận Lợi nhuận từ x lít nước nhô loại A và y lít nước nhô loại B là: \[ P = 30x + 40y \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( P = 30x + 40y \) trong miền xác định của x và y. Miền xác định của x và y là: \[ 1x + 4y \leq 25 \] \[ 10x + 10y \leq 100 \] \[ x \geq 0 \] \[ y \geq 0 \] Bước 5: Giải hệ phương trình Chúng ta sẽ vẽ đồ thị của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ và tìm điểm tối ưu. 1. \( 1x + 4y = 25 \) - Khi \( x = 0 \), \( y = \frac{25}{4} = 6.25 \) - Khi \( y = 0 \), \( x = 25 \) 2. \( 10x + 10y = 100 \) - Khi \( x = 0 \), \( y = 10 \) - Khi \( y = 0 \), \( x = 10 \) Các điểm giao của các đường thẳng này là: - \( (0, 6.25) \) - \( (0, 10) \) - \( (25, 0) \) - \( (10, 0) \) Bước 6: Tính giá trị của hàm số tại các điểm giao - Tại \( (0, 6.25) \): \[ P = 30(0) + 40(6.25) = 250 \text{ nghìn đồng} \] - Tại \( (0, 10) \): \[ P = 30(0) + 40(10) = 400 \text{ nghìn đồng} \] - Tại \( (25, 0) \): \[ P = 30(25) + 40(0) = 750 \text{ nghìn đồng} \] - Tại \( (10, 0) \): \[ P = 30(10) + 40(0) = 300 \text{ nghìn đồng} \] Bước 7: Kết luận Giá trị lớn nhất của hàm số \( P = 30x + 40y \) là 750 nghìn đồng, đạt được khi \( x = 25 \) và \( y = 0 \). Vậy, anh Thức nên pha chế 25 lít nước nhô loại A và 0 lít nước nhô loại B để có lợi nhuận cao nhất.