Bài $\rm 2.$

Để giải phương trình \(2\sin(3x - \frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} = 0\) và tìm các nghiệm thuộc khoảng \((- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chuyển vế và đơn giản hóa phương trình: \[ 2\sin(3x - \frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} = 0 \] Chuyển \(\sqrt{3}\) sang vế phải: \[ 2\sin(3x - \frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \] Chia cả hai vế cho 2: \[ \sin(3x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] 2. Xác định các giá trị của góc mà sin bằng \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\): Ta biết rằng \(\sin(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) tại các góc \(\theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) và \(\theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\) với \(k\) là số nguyên. 3. Giải phương trình cho \(3x - \frac{\pi}{3}\): \[ 3x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \] 4. Tìm \(x\) từ mỗi phương trình: - Từ \(3x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\): \[ 3x = 2k\pi \] \[ x = \frac{2k\pi}{3} \] - Từ \(3x - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\): \[ 3x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi + \frac{\pi}{3} \] \[ 3x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \] 5. Kiểm tra các nghiệm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\): - Đối với \(x = \frac{2k\pi}{3}\): \[ -\frac{\pi}{2} < \frac{2k\pi}{3} < \frac{\pi}{2} \] \[ -\frac{3\pi}{4} < 2k\pi < \frac{3\pi}{4} \] \[ -\frac{3}{4} < 2k < \frac{3}{4} \] \[ -\frac{3}{8} < k < \frac{3}{8} \] Vì \(k\) là số nguyên, nên \(k = 0\). Do đó: \[ x = 0 \] - Đối với \(x = \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\): \[ -\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} < \frac{\pi}{2} \] \[ -\frac{9\pi}{18} < \frac{10\pi}{18} + \frac{12k\pi}{18} < \frac{9\pi}{18} \] \[ -9\pi < 10\pi + 12k\pi < 9\pi \] \[ -19\pi < 12k\pi < -\pi \] \[ -\frac{19}{12} < k < -\frac{1}{12} \] Vì \(k\) là số nguyên, nên không có giá trị nào của \(k\) thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\) là: \[ x = 0 \]