giúp giúp :))

Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức liên quan đến góc đôi (double angle formula) cho cosin. Công thức này cho phép chúng ta tính \(\cos 2\alpha\) dựa trên giá trị của \(\sin \alpha\). Công thức cho \(\cos 2\alpha\) là: \[ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \] Bây giờ, chúng ta sẽ thay giá trị \(\sin \alpha = \frac{3}{4}\) vào công thức trên. 1. Tính \(\sin^2 \alpha\): \[ \sin^2 \alpha = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \] 2. Thay \(\sin^2 \alpha\) vào công thức \(\cos 2\alpha\): \[ \cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{9}{16} \] 3. Thực hiện phép nhân: \[ 2 \cdot \frac{9}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} \] 4. Thay kết quả vào công thức: \[ \cos 2\alpha = 1 - \frac{9}{8} \] 5. Thực hiện phép trừ: \[ 1 = \frac{8}{8} \quad \text{nên} \quad \cos 2\alpha = \frac{8}{8} - \frac{9}{8} = -\frac{1}{8} \] Vậy, \(\cos 2\alpha = -\frac{1}{8}\). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~-\frac{1}{8}} \] Câu 8: Để giải bài toán này, ta cần tính giá trị của biểu thức: \[ \frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ+\cos20^\circ} \] Sử dụng công thức cộng góc cho sin và cos: 1. Công thức cộng cho sin: \[ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \] 2. Công thức cộng cho cos: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \] Áp dụng cho trường hợp của chúng ta: - Với \(\sin10^\circ + \sin20^\circ\): \[ \sin10^\circ + \sin20^\circ = 2 \sin\left(\frac{10^\circ + 20^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{10^\circ - 20^\circ}{2}\right) = 2 \sin15^\circ \cos5^\circ \] - Với \(\cos10^\circ + \cos20^\circ\): \[ \cos10^\circ + \cos20^\circ = 2 \cos\left(\frac{10^\circ + 20^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{10^\circ - 20^\circ}{2}\right) = 2 \cos15^\circ \cos5^\circ \] Thay vào biểu thức ban đầu, ta có: \[ \frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ+\cos20^\circ} = \frac{2 \sin15^\circ \cos5^\circ}{2 \cos15^\circ \cos5^\circ} = \frac{\sin15^\circ}{\cos15^\circ} = \tan15^\circ \] Vậy, biểu thức đã cho bằng \(\tan15^\circ\). Do đó, đáp án đúng là \(D.~\tan15^\circ\). Câu 9: Hàm số \( y = \tan(2x - \frac{\pi}{3}) \) xác định khi \( 2x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Giải bất phương trình: \[ 2x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ 2x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k\pi \] \[ 2x \neq \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + k\pi \] \[ 2x \neq \frac{5\pi}{6} + k\pi \] \[ x \neq \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \] Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \right\}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A. \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \right\}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Câu 10: Ta biết rằng hàm số \( y = \sin x \) có chu kỳ \( T = 2\pi \). Xét hàm số \( y = \sin 2x \). Ta thấy rằng chu kỳ của hàm số này sẽ thay đổi do sự xuất hiện của hệ số \( 2 \) trong đối số của hàm sin. Chu kỳ của hàm số \( y = \sin kx \) là \( \frac{2\pi}{k} \). Trong trường hợp này, \( k = 2 \), nên chu kỳ của hàm số \( y = \sin 2x \) là: \[ T = \frac{2\pi}{2} = \pi \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~T=\pi. \] Câu 11: A. Đúng vì \( y(-x) = \cos(-x) = \cos x = -y(x) \) B. Sai vì \( y(-x) = \cot(-x) = -\cot x = -y(x) \) C. Đúng vì \( y(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -y(x) \) D. Đúng vì \( y(-x) = \tan(-x) = -\tan x = -y(x) \) Đáp án đúng là: B Câu 12: Để giải phương trình lượng giác \(2\cot x - \sqrt{3} = 0\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chuyển đổi phương trình về dạng đơn giản hơn: \[ 2\cot x - \sqrt{3} = 0 \] Chuyển \(\sqrt{3}\) sang vế phải: \[ 2\cot x = \sqrt{3} \] 2. Chia cả hai vế cho 2 để tìm giá trị của \(\cot x\): \[ \cot x = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 3. Xác định góc \(x\) mà \(\cot x = \frac{\sqrt{3}}{2}\): Ta biết rằng \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\). Do đó, \(\cot x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) tương đương với \(\tan x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\). Góc \(x\) mà \(\tan x = \frac{2\sqrt{3}}{3}\) là \(x = \frac{\pi}{6}\) (vì \(\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)). 4. Xác định tất cả các nghiệm của phương trình: Vì \(\cot x\) là hàm tuần hoàn với chu kỳ \(\pi\), nên các nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~x=\frac\pi6+k\pi.} \]