làm bài sau

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các tính chất của góc trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}, 0)\). 1. Xác định giá trị của \(\sin x\): - Ta biết rằng \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\). - Cho \(\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}\), ta thay vào công thức trên: \[ \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 + \sin^2 x = 1 \] \[ \frac{4}{5} + \sin^2 x = 1 \] \[ \sin^2 x = 1 - \frac{4}{5} \] \[ \sin^2 x = \frac{1}{5} \] \[ \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \] 2. Xác định dấu của \(\sin x\): - Vì \(x\) nằm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}, 0)\), tức là \(x\) thuộc góc phần tư thứ tư, nơi mà \(\sin x\) âm. - Do đó, \(\sin x = -\frac{1}{\sqrt{5}}\). 3. Kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: \(\sin x = \frac{1}{5}\) (sai vì \(\sin x = -\frac{1}{\sqrt{5}}\)). - Đáp án B: \(\tan x = -2\): \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = -\frac{1}{2} \] (sai vì \(\tan x = -\frac{1}{2}\)). - Đáp án C: \(\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}}\) (sai vì \(\sin x = -\frac{1}{\sqrt{5}}\)). - Đáp án D: \(\cot x = 2\): \[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} = -2 \] (sai vì \(\cot x = -2\)). Vậy, không có đáp án nào đúng trong các đáp án đã cho. Tuy nhiên, nếu phải chọn một đáp án gần đúng nhất, thì đáp án B là gần đúng nhất vì \(\tan x = -\frac{1}{2}\) gần với \(\tan x = -2\). Đáp án: Không có đáp án nào đúng. Câu 2: Ta có: \[ P = \cot^4 a + \cot^4 b + 2 \tan^2 a \tan^2 b + 2 \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai cặp số $(\cot^4 a, \cot^4 b)$ và $(1, 1)$, ta có: \[ (\cot^4 a + \cot^4 b)(1 + 1) \geq (\cot^2 a + \cot^2 b)^2 \] \[ \Rightarrow \cot^4 a + \cot^4 b \geq \frac{(\cot^2 a + \cot^2 b)^2}{2} \] Tiếp theo, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số $\cot^2 a$ và $\cot^2 b$, ta có: \[ \cot^2 a + \cot^2 b \geq 2 \sqrt{\cot^2 a \cdot \cot^2 b} = 2 \cot a \cot b \] Do đó: \[ \cot^4 a + \cot^4 b \geq \frac{(2 \cot a \cot b)^2}{2} = 2 \cot^2 a \cot^2 b \] Bây giờ, ta xét biểu thức $P$: \[ P = \cot^4 a + \cot^4 b + 2 \tan^2 a \tan^2 b + 2 \] \[ \geq 2 \cot^2 a \cot^2 b + 2 \tan^2 a \tan^2 b + 2 \] Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số $\cot^2 a \cot^2 b$ và $\tan^2 a \tan^2 b$, ta có: \[ 2 \cot^2 a \cot^2 b + 2 \tan^2 a \tan^2 b \geq 2 \sqrt{2 \cot^2 a \cot^2 b \cdot 2 \tan^2 a \tan^2 b} = 4 \sqrt{\cot^2 a \cot^2 b \cdot \tan^2 a \tan^2 b} \] Do $\cot a \cdot \tan a = 1$, nên: \[ 2 \cot^2 a \cot^2 b + 2 \tan^2 a \tan^2 b \geq 4 \sqrt{1 \cdot 1} = 4 \] Vậy: \[ P \geq 4 + 2 = 6 \] Dấu bằng xảy ra khi $\cot^2 a = \cot^2 b$ và $\tan^2 a = \tan^2 b$, tức là $a = b$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là 6, đạt được khi $a = b$. Đáp án đúng là: C. 6. Câu 3: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{2\cos x - 1}{\sin x} - 3\tan x \), chúng ta cần xét các điều kiện xác định của từng phần trong hàm số này. 1. Xét phần \(\frac{2\cos x - 1}{\sin x}\): - Điều kiện để \(\sin x \neq 0\) là \(x \neq k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Xét phần \(-3\tan x\): - \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), do đó \(\tan x\) không xác định khi \(\cos x = 0\). - Điều kiện để \(\cos x \neq 0\) là \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Kết hợp cả hai điều kiện trên, ta có: - \(x \neq k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\) (điều kiện từ \(\sin x \neq 0\)). - \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\) (điều kiện từ \(\cos x \neq 0\)). Do đó, tập xác định \(D\) của hàm số \(y\) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left( \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\} \cup \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\} \right) \] Đơn giản hóa, ta thấy rằng \(k\pi\) và \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) đều là các giá trị mà \(x\) không thể nhận. Vì vậy, tập xác định \(D\) có thể viết lại thành: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} \]