Câu $\rm 4.$

Câu 4: Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng bước: a) Tính tổng diện tích phần được tô màu ở hình thứ nhất, thứ hai, thứ ba. 1. Hình thứ nhất: - Hình vuông lớn có diện tích là 1. - Chia thành 9 hình vuông nhỏ, mỗi hình vuông nhỏ có diện tích là \( \frac{1}{9} \). - Tô màu hình vuông chính giữa, diện tích tô màu là \( \frac{1}{9} \). 2. Hình thứ hai: - Mỗi hình vuông nhỏ chưa tô màu lại được chia thành 9 hình vuông nhỏ hơn. - Diện tích mỗi hình vuông nhỏ hơn là \( \frac{1}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{81} \). - Có 8 hình vuông nhỏ chưa tô màu từ hình thứ nhất, mỗi hình vuông này sẽ có 1 hình vuông nhỏ hơn được tô màu. - Diện tích tô màu thêm là \( 8 \times \frac{1}{81} = \frac{8}{81} \). - Tổng diện tích tô màu ở hình thứ hai là \( \frac{1}{9} + \frac{8}{81} = \frac{9}{81} + \frac{8}{81} = \frac{17}{81} \). 3. Hình thứ ba: - Tiếp tục quá trình, mỗi hình vuông nhỏ chưa tô màu lại được chia thành 9 hình vuông nhỏ hơn. - Diện tích mỗi hình vuông nhỏ hơn là \( \frac{1}{81} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{729} \). - Có 8 hình vuông nhỏ chưa tô màu từ hình thứ hai, mỗi hình vuông này sẽ có 1 hình vuông nhỏ hơn được tô màu. - Diện tích tô màu thêm là \( 8 \times \frac{1}{729} = \frac{8}{729} \). - Tổng diện tích tô màu ở hình thứ ba là \( \frac{17}{81} + \frac{8}{729} = \frac{153}{729} + \frac{8}{729} = \frac{161}{729} \). b) Dự đoán công thức tính tổng diện tích phần được tô màu ở hình thứ n. Quan sát quá trình trên, ta thấy: - Diện tích tô màu ở hình thứ nhất là \( \frac{1}{9} \). - Diện tích tô màu ở hình thứ hai là \( \frac{1}{9} + \frac{8}{81} \). - Diện tích tô màu ở hình thứ ba là \( \frac{1}{9} + \frac{8}{81} + \frac{8}{729} \). Dễ thấy rằng diện tích tô màu ở hình thứ n có dạng tổng của một cấp số nhân: \[ S_n = \frac{1}{9} + \frac{8}{81} + \frac{8}{729} + \ldots + \frac{8}{9^n} \] Công thức tổng quát cho tổng diện tích phần được tô màu ở hình thứ n là: \[ S_n = \frac{1}{9} + \sum_{k=2}^{n} \frac{8}{9^k} \] Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( \frac{8}{81} \) và công bội là \( \frac{1}{9} \). Tổng của cấp số nhân này có thể được tính bằng công thức: \[ S_n = \frac{1}{9} + \frac{8}{81} \times \frac{1 - \left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}}{1 - \frac{1}{9}} \] Từ đó, ta có thể tính tổng diện tích phần được tô màu cho bất kỳ hình thứ n nào.