Bài $\rm 1.$

Bài 1: a) Để giải quyết bài toán này, ta cần tính các giá trị lượng giác khác dựa trên giá trị đã cho $\sin x = \frac{3}{5}$ với điều kiện $\frac{\pi}{2} < x < \pi$. 1. Tính $\cos x$: Ta có công thức lượng giác cơ bản: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Thay $\sin x = \frac{3}{5}$ vào, ta có: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \implies \frac{9}{25} + \cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] Do $x$ thuộc góc phần tư thứ hai ($\frac{\pi}{2} < x < \pi$), nên $\cos x < 0$. Do đó: \[ \cos x = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \] 2. Tính $\tan x$: Ta có $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. \[ \tan x = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} \] 3. Tính $\sin 2x$: Sử dụng công thức $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. \[ \sin 2x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25} \] 4. Tính $\sin(x + \frac{\pi}{3})$: Sử dụng công thức $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$. Với $a = x$ và $b = \frac{\pi}{3}$, ta có: \[ \sin(x + \frac{\pi}{3}) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} \] Biết rằng $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ và $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ta thay vào: \[ \sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ = \frac{3}{10} - \frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{3 - 4\sqrt{3}}{10} \] b) Chứng minh rằng trong tam giác $ABC$, ta có $\cos\frac{A}{2} = \sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} + \sin\frac{C}{2}\cos\frac{B}{2}$: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \cos\frac{A}{2} = \cos\left(\frac{\pi - (B + C)}{2}\right) = \sin\left(\frac{B + C}{2}\right) \] Sử dụng công thức $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$, ta có: \[ \sin\left(\frac{B + C}{2}\right) = \sin\left(\frac{B}{2} + \frac{C}{2}\right) = \sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} + \cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \cos\frac{A}{2} = \sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} + \sin\frac{C}{2}\cos\frac{B}{2} \]