giúp mình với

Câu 12: Để tìm giá trị của \( x \) sao cho chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, ta cần tính biểu thức chi phí trung bình và tìm giá trị nhỏ nhất của nó. Bước 1: Thiết lập biểu thức chi phí trung bình Chi phí vật liệu cho một chụp đèn là \( C(x) = x^2 + 27 \) (nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn là \( T(x) = x + 3 \) (giờ). Chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là: \[ A(x) = \frac{C(x)}{T(x)} = \frac{x^2 + 27}{x + 3} \] Bước 2: Tìm điều kiện xác định Biểu thức \( A(x) \) xác định khi \( x + 3 \neq 0 \), tức là \( x \neq -3 \). Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A(x) \) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A(x) \), ta tính đạo hàm của \( A(x) \) và tìm các điểm tới hạn. Tính đạo hàm: \[ A'(x) = \frac{(2x)(x+3) - (x^2 + 27)(1)}{(x+3)^2} = \frac{2x^2 + 6x - x^2 - 27}{(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6x - 27}{(x+3)^2} \] Giải phương trình \( A'(x) = 0 \): \[ x^2 + 6x - 27 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 \pm 12}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-18}{2} = -9 \] Bước 4: Kiểm tra giá trị nhỏ nhất Do \( x \neq -3 \) và \( x \) phải dương (vì là độ dài cạnh), ta chỉ xét \( x = 3 \). Tính \( A(3) \): \[ A(3) = \frac{3^2 + 27}{3 + 3} = \frac{9 + 27}{6} = \frac{36}{6} = 6 \] Kết luận Giá trị nhỏ nhất của chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là 6 nghìn đồng, đạt được khi \( x = 3 \) dm. Câu 13: Công suất tiêu thụ trên điện trở R là: \[ P = \frac{E^2 R}{(R + r)^2}. \] Thay các giá trị đã cho \( E = 12 \, \text{V} \) và \( r = 2 \, \Omega \): \[ P = \frac{12^2 R}{(R + 2)^2} = \frac{144 R}{(R + 2)^2}. \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), ta xét đạo hàm của \( P \) theo \( R \). Đặt \( f(R) = \frac{144 R}{(R + 2)^2} \). Tính đạo hàm \( f'(R) \): \[ f'(R) = \frac{(144)(R + 2)^2 - 144 R \cdot 2(R + 2)}{(R + 2)^4} = \frac{144 (R + 2) [ (R + 2) - 2R ] }{(R + 2)^4} = \frac{144 (R + 2)(2 - R)}{(R + 2)^4} = \frac{144 (2 - R)}{(R + 2)^3}. \] Đặt \( f'(R) = 0 \): \[ \frac{144 (2 - R)}{(R + 2)^3} = 0 \] \[ 2 - R = 0 \] \[ R = 2. \] Kiểm tra dấu của \( f'(R) \) để xác định điểm cực đại: - Khi \( R < 2 \), \( f'(R) > 0 \) (hàm tăng). - Khi \( R > 2 \), \( f'(R) < 0 \) (hàm giảm). Do đó, tại \( R = 2 \), hàm \( f(R) \) đạt giá trị lớn nhất. Thay \( R = 2 \) vào biểu thức của \( P \): \[ P_{\text{max}} = \frac{144 \cdot 2}{(2 + 2)^2} = \frac{288}{16} = 18 \, \text{W}. \] Vậy công suất P đạt giá trị cực đại bằng 18 W khi \( R = 2 \, \Omega \). Câu 14: Giả sử giá 1 ly trà sữa tăng lên x lần 5 (ngàn đồng). Khi đó, giá 1 ly trà sữa là \( 20 + 5x \) (ngàn đồng). Số lượng khách hàng giảm đi là \( 100x \) người. Do đó, số lượng khách hàng còn lại là \( 1000 - 100x \) người. Thu nhập từ bán trà sữa là: \[ (20 + 5x)(1000 - 100x) \] Thu nhập từ bán bánh tráng trộn là: \[ 10(1000 - 100x) \] Tổng thu nhập \( T \) là: \[ T = (20 + 5x)(1000 - 100x) + 10(1000 - 100x) \] Ta có: \[ T = (20 + 5x + 10)(1000 - 100x) \] \[ T = (30 + 5x)(1000 - 100x) \] Phát triển biểu thức: \[ T = 30(1000 - 100x) + 5x(1000 - 100x) \] \[ T = 30000 - 3000x + 5000x - 500x^2 \] \[ T = 30000 + 2000x - 500x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( T \), ta xét đạo hàm của \( T \): \[ T' = 2000 - 1000x \] Đặt \( T' = 0 \): \[ 2000 - 1000x = 0 \] \[ 1000x = 2000 \] \[ x = 2 \] Kiểm tra dấu của \( T' \): - Khi \( x < 2 \), \( T' > 0 \) (hàm số tăng) - Khi \( x > 2 \), \( T' < 0 \) (hàm số giảm) Do đó, \( T \) đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 2 \). Vậy giá 1 ly trà sữa nên là: \[ 20 + 5 \times 2 = 30 \text{ (ngàn đồng)} \] Đáp số: 30 (ngàn đồng) Câu 15: Gọi x là số lần tăng giá của mỗi bộ quần áo (x > 0) Giá bán của mỗi bộ quần áo sau khi tăng giá là: 80 + 5x (nghìn đồng) Số lượng bộ quần áo bán được trong một tháng sau khi tăng giá là: 1200 - 100x (bộ) Lợi nhuận thu được từ việc bán một bộ quần áo là: (80 + 5x) - 50 = 30 + 5x (nghìn đồng) Tổng lợi nhuận thu được trong một tháng là: (30 + 5x)(1200 - 100x) (nghìn đồng) Ta có: (30 + 5x)(1200 - 100x) = 36000 + 6000x - 500x^2 Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trên, ta xét đạo hàm của nó: f'(x) = 6000 - 1000x Cho f'(x) = 0, ta có: 6000 - 1000x = 0 x = 6 Vậy, để lợi nhuận thu được lớn nhất, cơ sở sản xuất nên tăng giá bán của mỗi bộ quần áo 6 lần, tức là giá bán của mỗi bộ quần áo là: 80 + 5 6 = 110 (nghìn đồng) Đáp số: 110 nghìn đồng Câu 16: Để tìm thời điểm \( t \) mà tốc độ tăng lượt đăng ký đạt giá trị lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị của \( t \) sao cho đạo hàm \( f'(t) \) đạt giá trị lớn nhất. Hàm số đã cho là: \[ f(t) = \frac{5000}{1 + 4e^{-2t}} \] Bước 1: Tính đạo hàm \( f'(t) \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{5000}{1 + 4e^{-2t}} \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ f'(t) = \frac{-5000 \cdot \frac{d}{dt}(1 + 4e^{-2t})}{(1 + 4e^{-2t})^2} \] Tính đạo hàm của mẫu số: \[ \frac{d}{dt}(1 + 4e^{-2t}) = 4 \cdot (-2e^{-2t}) = -8e^{-2t} \] Do đó: \[ f'(t) = \frac{-5000 \cdot (-8e^{-2t})}{(1 + 4e^{-2t})^2} = \frac{40000e^{-2t}}{(1 + 4e^{-2t})^2} \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \). Để tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \), ta xét đạo hàm bậc hai \( f''(t) \) và tìm điểm cực đại. \[ f'(t) = \frac{40000e^{-2t}}{(1 + 4e^{-2t})^2} \] Tính đạo hàm bậc hai: \[ f''(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{40000e^{-2t}}{(1 + 4e^{-2t})^2} \right) \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ f''(t) = \frac{(1 + 4e^{-2t})^2 \cdot \frac{d}{dt}(40000e^{-2t}) - 40000e^{-2t} \cdot \frac{d}{dt}((1 + 4e^{-2t})^2)}{(1 + 4e^{-2t})^4} \] Tính đạo hàm của tử số: \[ \frac{d}{dt}(40000e^{-2t}) = 40000 \cdot (-2e^{-2t}) = -80000e^{-2t} \] \[ \frac{d}{dt}((1 + 4e^{-2t})^2) = 2(1 + 4e^{-2t}) \cdot \frac{d}{dt}(1 + 4e^{-2t}) = 2(1 + 4e^{-2t}) \cdot (-8e^{-2t}) = -16e^{-2t}(1 + 4e^{-2t}) \] \[ f''(t) = \frac{(1 + 4e^{-2t})^2 \cdot (-80000e^{-2t}) - 40000e^{-2t} \cdot (-16e^{-2t}(1 + 4e^{-2t}))}{(1 + 4e^{-2t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{-80000e^{-2t}(1 + 4e^{-2t})^2 + 640000e^{-4t}(1 + 4e^{-2t})}{(1 + 4e^{-2t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{-80000e^{-2t}(1 + 4e^{-2t}) + 640000e^{-4t}}{(1 + 4e^{-2t})^3} \] \[ f''(t) = \frac{-80000e^{-2t} - 320000e^{-4t} + 640000e^{-4t}}{(1 + 4e^{-2t})^3} \] \[ f''(t) = \frac{-80000e^{-2t} + 320000e^{-4t}}{(1 + 4e^{-2t})^3} \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 17: Để giải bài toán này, ta cần tìm tổng độ dài đường ống từ C đến I và từ I đến A và B sao cho tổng độ dài này là nhỏ nhất. Bước 1: Xác định vị trí các điểm - Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \), do đó \( AM = MB = 2 \) km. - Điểm \( C \) nằm trên đường trung trực của \( AB \) và cách \( M \) 4 km, do đó \( CM = 4 \) km. Bước 2: Tính toán - Gọi \( I \) là điểm nằm trên đoạn \( MC \) sao cho tổng độ dài \( CI + IA + IB \) là nhỏ nhất. - Do \( C \) nằm trên đường trung trực của \( AB \), nên \( CA = CB \). Bước 3: Sử dụng tính chất hình học - Theo tính chất của đường trung trực, để tổng độ dài \( CI + IA + IB \) nhỏ nhất, điểm \( I \) phải nằm trên đường thẳng nối \( C \) với điểm đối xứng của \( A \) qua \( B \) (hoặc ngược lại). - Do đó, \( I \) phải nằm trên đoạn thẳng \( MC \) sao cho \( \angle AIC = \angle BIC \). Bước 4: Tính độ dài tối thiểu - Do \( C \) cách \( M \) 4 km và \( M \) là trung điểm của \( AB \), ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle MIC \) với \( MI = x \) và \( CI = \sqrt{4^2 - x^2} \). - Tổng độ dài cần tìm là \( CI + IA + IB \). Bước 5: Tính toán cụ thể - Đặt \( I \) cách \( M \) một khoảng \( x \) km, do đó \( CI = \sqrt{4^2 - x^2} \). - Tổng độ dài \( L = CI + IA + IB = \sqrt{4^2 - x^2} + 2x \). Bước 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( L \) - Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( L \), ta có thể sử dụng đạo hàm: \[ L'(x) = \frac{-x}{\sqrt{16 - x^2}} + 2 \] - Giải phương trình \( L'(x) = 0 \): \[ \frac{-x}{\sqrt{16 - x^2}} + 2 = 0 \implies \frac{x}{\sqrt{16 - x^2}} = 2 \] \[ x = \frac{2\sqrt{16 - x^2}}{2} \implies x^2 = 16 - x^2 \implies 2x^2 = 16 \implies x^2 = 8 \implies x = 2\sqrt{2} \] Bước 7: Tính tổng độ dài nhỏ nhất - Thay \( x = 2\sqrt{2} \) vào \( L \): \[ L = \sqrt{16 - (2\sqrt{2})^2} + 2(2\sqrt{2}) = \sqrt{16 - 8} + 4\sqrt{2} = \sqrt{8} + 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \] Kết quả - Tổng độ dài đường ống nhỏ nhất là \( 6\sqrt{2} \approx 8.49 \) km (làm tròn đến hàng phần trăm).