giải giúp mình

Câu 12: Để tìm giá trị của \( x \) sao cho chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, ta cần tính biểu thức chi phí trung bình và tìm giá trị nhỏ nhất của nó. Bước 1: Thiết lập biểu thức chi phí trung bình Chi phí vật liệu cho một chụp đèn là \( C(x) = x^2 + 27 \) (nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn là \( T(x) = x + 3 \) (giờ). Chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là: \[ A(x) = \frac{C(x)}{T(x)} = \frac{x^2 + 27}{x + 3} \] Bước 2: Tìm điều kiện xác định Biểu thức \( A(x) \) xác định khi \( x + 3 \neq 0 \), tức là \( x \neq -3 \). Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A(x) \) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A(x) \), ta tính đạo hàm của \( A(x) \) và tìm các điểm cực trị. Tính đạo hàm: \[ A'(x) = \frac{(2x)(x+3) - (x^2 + 27)(1)}{(x+3)^2} = \frac{2x^2 + 6x - x^2 - 27}{(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6x - 27}{(x+3)^2} \] Giải phương trình \( A'(x) = 0 \): \[ x^2 + 6x - 27 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 \pm 12}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-18}{2} = -9 \] Bước 4: Kiểm tra giá trị nhỏ nhất Do \( x \neq -3 \) và \( x \) phải dương (vì là độ dài cạnh đáy), ta chỉ xét \( x = 3 \). Tính \( A(x) \) tại \( x = 3 \): \[ A(3) = \frac{3^2 + 27}{3 + 3} = \frac{9 + 27}{6} = \frac{36}{6} = 6 \] Kết luận Giá trị nhỏ nhất của chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là 6 nghìn đồng, đạt được khi \( x = 3 \) dm. Câu 13: Để tìm giá trị cực đại của công suất \( P \) theo \( R \), ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm. Bước 1: Viết lại biểu thức công suất \( P \): \[ P = \frac{E^2 R}{(R + r)^2} \] Bước 2: Thay các giá trị đã cho \( E = 12 \) (V) và \( r = 2 \) (\(\Omega\)): \[ P = \frac{12^2 R}{(R + 2)^2} = \frac{144 R}{(R + 2)^2} \] Bước 3: Tìm đạo hàm của \( P \) theo \( R \): \[ P = \frac{144 R}{(R + 2)^2} \] Ta sử dụng quy tắc thương để tìm đạo hàm: \[ P' = \frac{(144)(R + 2)^2 - 144 R \cdot 2(R + 2)}{(R + 2)^4} \] \[ P' = \frac{144 (R + 2)^2 - 288 R (R + 2)}{(R + 2)^4} \] \[ P' = \frac{144 (R + 2) [ (R + 2) - 2R ]}{(R + 2)^4} \] \[ P' = \frac{144 (R + 2) (2 - R)}{(R + 2)^4} \] \[ P' = \frac{144 (2 - R)}{(R + 2)^3} \] Bước 4: Đặt \( P' = 0 \) để tìm giá trị cực đại: \[ \frac{144 (2 - R)}{(R + 2)^3} = 0 \] \[ 2 - R = 0 \] \[ R = 2 \] Bước 5: Kiểm tra dấu của \( P' \) trước và sau điểm \( R = 2 \): - Khi \( R < 2 \), \( P' > 0 \) - Khi \( R > 2 \), \( P' < 0 \) Do đó, tại \( R = 2 \), \( P \) đạt giá trị cực đại. Bước 6: Tính giá trị cực đại của \( P \) tại \( R = 2 \): \[ P = \frac{144 \cdot 2}{(2 + 2)^2} = \frac{288}{16} = 18 \text{ W} \] Vậy, công suất \( P \) đạt giá trị cực đại là 18 W khi \( R = 2 \) \(\Omega\). Đáp số: 18 W. Câu 14: Giả sử giá 1 ly trà sữa tăng lên x lần 5 (ngàn đồng). Khi đó, giá 1 ly trà sữa là \( 20 + 5x \) (ngàn đồng). Số lượng khách hàng giảm đi là \( 100x \) người. Do đó, số lượng khách hàng còn lại là \( 1000 - 100x \) người. Thu nhập từ bán trà sữa là: \[ (20 + 5x)(1000 - 100x) \] Thu nhập từ bán bánh tráng trộn là: \[ 10(1000 - 100x) \] Tổng thu nhập \( T \) là: \[ T = (20 + 5x)(1000 - 100x) + 10(1000 - 100x) \] Ta có: \[ T = (20 + 5x + 10)(1000 - 100x) \] \[ T = (30 + 5x)(1000 - 100x) \] Phát triển biểu thức: \[ T = 30(1000 - 100x) + 5x(1000 - 100x) \] \[ T = 30000 - 3000x + 5000x - 500x^2 \] \[ T = 30000 + 2000x - 500x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( T \), ta xét đạo hàm của \( T \): \[ T' = 2000 - 1000x \] Đặt \( T' = 0 \): \[ 2000 - 1000x = 0 \] \[ 1000x = 2000 \] \[ x = 2 \] Kiểm tra dấu của \( T' \): - Khi \( x < 2 \), \( T' > 0 \) (hàm tăng) - Khi \( x > 2 \), \( T' < 0 \) (hàm giảm) Do đó, \( T \) đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 2 \). Vậy giá 1 ly trà sữa nên là: \[ 20 + 5 \times 2 = 30 \text{ (ngàn đồng)} \] Đáp số: 30 (ngàn đồng). Câu 15: Gọi x là số lần tăng giá của mỗi bộ quần áo (x > 0) Giá bán của mỗi bộ quần áo sau khi tăng giá là: 80 + 5x (nghìn đồng) Số lượng bộ quần áo bán được trong một tháng sau khi tăng giá là: 1200 - 100x (bộ) Lợi nhuận thu được từ việc bán một bộ quần áo là: (80 + 5x) - 50 = 30 + 5x (nghìn đồng) Tổng lợi nhuận thu được trong một tháng là: (30 + 5x)(1200 - 100x) (nghìn đồng) Ta có: (30 + 5x)(1200 - 100x) = 36000 + 6000x - 500x^2 Để tối đa hóa lợi nhuận, ta cần tìm giá trị của x sao cho biểu thức trên đạt giá trị lớn nhất. Biểu thức trên là một hàm bậc hai có dạng: f(x) = -500x^2 + 6000x + 36000 Hàm này đạt giá trị lớn nhất tại x = -b/2a = -6000/(2(-500)) = 6 Vậy, để lợi nhuận thu được lớn nhất, cơ sở sản xuất nên tăng giá bán của mỗi bộ quần áo 6 lần, tức là: Giá bán của mỗi bộ quần áo sau khi tăng giá là: 80 + 56 = 110 (nghìn đồng) Đáp số: 110 nghìn đồng Câu 16: Để tìm thời điểm \( t \) mà tốc độ tăng lượt đăng ký đạt giá trị lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị của \( t \) sao cho đạo hàm \( f'(t) \) đạt giá trị lớn nhất. Hàm số đã cho là: \[ f(t) = \frac{5000}{1 + 4e^{-7t}} \] Bước 1: Tính đạo hàm \( f'(t) \). Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ f(t) = \frac{u(t)}{v(t)} \] \[ f'(t) = \frac{u'(t)v(t) - u(t)v'(t)}{[v(t)]^2} \] Trong đó: \[ u(t) = 5000 \] \[ v(t) = 1 + 4e^{-7t} \] Tính \( u'(t) \) và \( v'(t) \): \[ u'(t) = 0 \] \[ v'(t) = 4 \cdot (-7) e^{-7t} = -28e^{-7t} \] Do đó: \[ f'(t) = \frac{0 \cdot (1 + 4e^{-7t}) - 5000 \cdot (-28e^{-7t})}{(1 + 4e^{-7t})^2} \] \[ f'(t) = \frac{140000e^{-7t}}{(1 + 4e^{-7t})^2} \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \). Đặt \( g(t) = \frac{140000e^{-7t}}{(1 + 4e^{-7t})^2} \). Để tìm giá trị lớn nhất của \( g(t) \), chúng ta sẽ tìm đạo hàm của \( g(t) \) và giải phương trình \( g'(t) = 0 \). Tính \( g'(t) \): \[ g(t) = \frac{140000e^{-7t}}{(1 + 4e^{-7t})^2} \] Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ g'(t) = \frac{140000 \cdot (-7)e^{-7t} \cdot (1 + 4e^{-7t})^2 - 140000e^{-7t} \cdot 2(1 + 4e^{-7t})(-28e^{-7t})}{(1 + 4e^{-7t})^4} \] Đơn giản hóa: \[ g'(t) = \frac{-980000e^{-7t}(1 + 4e^{-7t})^2 + 7840000e^{-14t}(1 + 4e^{-7t})}{(1 + 4e^{-7t})^4} \] \[ g'(t) = \frac{-980000e^{-7t}(1 + 4e^{-7t}) + 7840000e^{-14t}}{(1 + 4e^{-7t})^3} \] Đặt \( g'(t) = 0 \): \[ -980000e^{-7t}(1 + 4e^{-7t}) + 7840000e^{-14t} = 0 \] \[ -980000e^{-7t} - 3920000e^{-14t} + 7840000e^{-14t} = 0 \] \[ -980000e^{-7t} + 3920000e^{-14t} = 0 \] \[ 980000e^{-7t} = 3920000e^{-14t} \] \[ e^{-7t} = 4e^{-14t} \] \[ e^{7t} = 4 \] \[ 7t = \ln(4) \] \[ t = \frac{\ln(4)}{7} \approx 0.2 \] Vậy, tại thời điểm \( t \approx 0.2 \) năm, tốc độ tăng lượt đăng ký đạt giá trị lớn nhất. Đáp án: \( t \approx 0.2 \) năm. Câu 17: Để giải bài toán này, ta cần tìm vị trí điểm 1 trên đoạn thẳng MC sao cho tổng độ dài đường ống từ C đến 1 và từ 1 đến A và B là nhỏ nhất. Bước 1: Xác định vị trí các điểm - Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Do đó, MA = MB = 2 km. - Điểm C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB và cách M một khoảng 4 km. Do đó, C nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại M và cách M một khoảng 4 km. Bước 2: Tính toán vị trí điểm 1 - Gọi 1 là điểm nằm trên đoạn thẳng MC. Ta cần tìm vị trí của 1 sao cho tổng độ dài đường ống từ C đến 1 và từ 1 đến A và B là nhỏ nhất. Bước 3: Sử dụng tính chất hình học - Do C nằm trên đường trung trực của AB, nên CA = CB. Để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất, điểm 1 phải nằm trên đường thẳng nối C với trung điểm của AB, tức là trên đoạn thẳng MC. Bước 4: Tính tổng độ dài đường ống - Gọi x là khoảng cách từ M đến 1. Khi đó, tổng độ dài đường ống là: \[ L = \sqrt{x^2 + 4^2} + \sqrt{(2-x)^2 + 2^2} + \sqrt{(2-x)^2 + 2^2} \] \[ L = \sqrt{x^2 + 16} + 2\sqrt{(2-x)^2 + 4} \] Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của L - Để tìm giá trị nhỏ nhất của L, ta có thể sử dụng đạo hàm. Tuy nhiên, do bài toán yêu cầu làm tròn đến hàng phần trăm, ta có thể thử các giá trị của x trong khoảng từ 0 đến 4 để tìm giá trị nhỏ nhất. Bước 6: Tính toán cụ thể - Thử x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 và tính giá trị của L: - Với x = 0: \( L = \sqrt{0^2 + 16} + 2\sqrt{(2-0)^2 + 4} = 4 + 2\sqrt{8} \approx 12.66 \) - Với x = 1: \( L = \sqrt{1^2 + 16} + 2\sqrt{(2-1)^2 + 4} = \sqrt{17} + 2\sqrt{5} \approx 10.49 \) - Với x = 2: \( L = \sqrt{2^2 + 16} + 2\sqrt{(2-2)^2 + 4} = \sqrt{20} + 4 \approx 8.47 \) - Với x = 3: \( L = \sqrt{3^2 + 16} + 2\sqrt{(2-3)^2 + 4} = \sqrt{25} + 2\sqrt{5} \approx 10.49 \) - Với x = 4: \( L = \sqrt{4^2 + 16} + 2\sqrt{(2-4)^2 + 4} = \sqrt{32} + 2\sqrt{8} \approx 12.66 \) Kết luận Giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài đường ống là khoảng 8.47 km, đạt được khi x = 2.