giúp mình với

Câu 9: Để giải quyết các yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Xác định miền xác định của hàm số Hàm số đã cho là \( f(x) = (x^2 - 3x - 3)e^x \). - Hàm số này là tích của một đa thức bậc hai và hàm mũ \( e^x \). - Cả hai thành phần này đều xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Vậy, hàm số xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). b) Tính giá trị \( f(0) \) Tính \( f(0) \): \[ f(0) = (0^2 - 3 \cdot 0 - 3) \cdot e^0 = (-3) \cdot 1 = -3 \] Có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài, vì giá trị \( f(0) = -3 \), không phải \(-30\). c) Tìm đạo hàm và giải phương trình \( f'(x) = 0 \) Đạo hàm của hàm số \( f(x) = (x^2 - 3x - 3)e^x \) được tính bằng quy tắc đạo hàm tích: \[ f'(x) = \left[(x^2 - 3x - 3)'\cdot e^x + (x^2 - 3x - 3) \cdot (e^x)'\right] \] Tính từng phần: - \((x^2 - 3x - 3)' = 2x - 3\) - \((e^x)' = e^x\) Vậy: \[ f'(x) = (2x - 3)e^x + (x^2 - 3x - 3)e^x = \left(2x - 3 + x^2 - 3x - 3\right)e^x \] \[ = (x^2 - x - 6)e^x \] Phương trình \( f'(x) = 0 \) tương đương với: \[ (x^2 - x - 6)e^x = 0 \] Vì \( e^x \neq 0 \) với mọi \( x \), nên: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \] Nghiệm của phương trình là \( x = 3 \) hoặc \( x = -2 \). Vậy, phương trình \( f'(x) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt \( x = 3 \) và \( x = -2 \). d) Xét tính đồng biến của hàm số trên khoảng \((-2; 3)\) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-2; 3)\) khi \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \in (-2; 3) \). Từ \( f'(x) = (x^2 - x - 6)e^x \), ta có: - \( x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \) Trên khoảng \((-2; 3)\), xét dấu của \( (x - 3)(x + 2) \): - \( x + 2 > 0 \) khi \( x > -2 \) - \( x - 3 < 0 \) khi \( x < 3 \) Vậy, trên khoảng \((-2; 3)\), \( (x - 3)(x + 2) < 0 \). Do đó, \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \((-2; 3)\), hàm số không đồng biến trên khoảng này. Kết luận: Hàm số không đồng biến trên khoảng \((-2; 3)\). Câu 10: Để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số \( y = f(x) = (x^2 - 5x + 7)e^x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính \( f(0) \) Đầu tiên, chúng ta thay \( x = 0 \) vào hàm số: \[ f(0) = (0^2 - 5 \cdot 0 + 7)e^0 = 7 \cdot 1 = 7 \] Vậy \( f(0) = 7 \). b) Tính đạo hàm \( f'(x) \) Để tính đạo hàm của \( f(x) \), chúng ta sử dụng quy tắc nhân: \[ f(x) = (x^2 - 5x + 7)e^x \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[(x^2 - 5x + 7)e^x] \] Áp dụng quy tắc nhân: \[ f'(x) = (x^2 - 5x + 7)'e^x + (x^2 - 5x + 7)(e^x)' \] \[ f'(x) = (2x - 5)e^x + (x^2 - 5x + 7)e^x \] \[ f'(x) = e^x[(2x - 5) + (x^2 - 5x + 7)] \] \[ f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 2) \] Vậy đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 2) \] c) Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của \( f(x) \) Để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của \( f(x) \), chúng ta cần xét dấu của \( f'(x) \): \[ f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 2) \] Giải phương trình \( x^2 - 3x + 2 = 0 \): \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Xét dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng: - Khi \( x < 1 \): \( x^2 - 3x + 2 > 0 \) - Khi \( 1 < x < 2 \): \( x^2 - 3x + 2 < 0 \) - Khi \( x > 2 \): \( x^2 - 3x + 2 > 0 \) Do \( e^x > 0 \) luôn đúng, nên: - \( f'(x) > 0 \) khi \( x < 1 \) hoặc \( x > 2 \) - \( f'(x) < 0 \) khi \( 1 < x < 2 \) Vậy hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (1, 2) \) và đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (2, +\infty) \). d) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0, 2]\) Chúng ta cần kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm đầu và cuối của đoạn \([0, 2]\) và tại các điểm cực trị trong đoạn này. - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 7 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = (2^2 - 5 \cdot 2 + 7)e^2 = (4 - 10 + 7)e^2 = 1e^2 = e^2 \approx 7.389 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = (1^2 - 5 \cdot 1 + 7)e^1 = (1 - 5 + 7)e^1 = 3e \approx 8.154 \] So sánh các giá trị: - \( f(0) = 7 \) - \( f(1) \approx 8.154 \) - \( f(2) \approx 7.389 \) Vậy giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0, 2]\) là 7 và giá trị lớn nhất là \( 3e \). Tóm lại: - Giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0, 2]\) là 7. - Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0, 2]\) là \( 3e \). Câu 11: Để giải quyết các phần của bài toán liên quan đến hàm số \( f(x) = 3x - \log_5(x-1) \), chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định. Phần a: Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) Hàm số \( f(x) = 3x - \log_5(x-1) \). Đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} [3x] - \frac{d}{dx} [\log_5(x-1)] \] Ta biết: \[ \frac{d}{dx} [3x] = 3 \] \[ \frac{d}{dx} [\log_5(x-1)] = \frac{1}{(x-1) \ln 5} \] Do đó: \[ f'(x) = 3 - \frac{1}{(x-1) \ln 5} \] Vì \( \ln 5 \approx 1.6094 \), nên: \[ f'(x) = 3 - \frac{1}{(x-1) \cdot 1.6094} \] Như vậy, khẳng định \( f'(x) = 3 - \frac{1}{x-1} \) là sai. Đáp án đúng là: \[ f'(x) = 3 - \frac{1}{(x-1) \ln 5} \] Phần b: Hàm số \( f(x) \) có một điểm cực tiểu Để tìm điểm cực tiểu, ta cần giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3 - \frac{1}{(x-1) \ln 5} = 0 \] \[ 3 = \frac{1}{(x-1) \ln 5} \] \[ (x-1) \ln 5 = \frac{1}{3} \] \[ x-1 = \frac{1}{3 \ln 5} \] \[ x = 1 + \frac{1}{3 \ln 5} \] Tiếp theo, ta kiểm tra dấu của \( f'(x) \) để xác định tính chất tăng giảm của hàm số: - Khi \( x < 1 + \frac{1}{3 \ln 5} \), \( f'(x) > 0 \) - Khi \( x > 1 + \frac{1}{3 \ln 5} \), \( f'(x) < 0 \) Như vậy, hàm số có một điểm cực đại tại \( x = 1 + \frac{1}{3 \ln 5} \). Khẳng định này là sai. Phần c: Hàm số đồng biến trên khoảng \( (2; +\infty) \) Ta đã có: \[ f'(x) = 3 - \frac{1}{(x-1) \ln 5} \] Trên khoảng \( (2; +\infty) \): \[ x-1 > 1 \] \[ (x-1) \ln 5 > \ln 5 \] \[ \frac{1}{(x-1) \ln 5} < \frac{1}{\ln 5} \] \[ 3 - \frac{1}{(x-1) \ln 5} > 3 - \frac{1}{\ln 5} \] Vì \( \ln 5 \approx 1.6094 \), nên: \[ 3 - \frac{1}{\ln 5} \approx 3 - 0.621 = 2.379 \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (2; +\infty) \), hàm số đồng biến. Khẳng định này là đúng. Phần d: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \( (1; +\infty) \) lớn hơn \( \frac{9}{2} \) Ta đã biết hàm số có điểm cực đại tại \( x = 1 + \frac{1}{3 \ln 5} \). Ta tính giá trị của hàm số tại điểm này: \[ f\left(1 + \frac{1}{3 \ln 5}\right) = 3\left(1 + \frac{1}{3 \ln 5}\right) - \log_5\left(\frac{1}{3 \ln 5}\right) \] \[ = 3 + \frac{1}{\ln 5} - \log_5\left(\frac{1}{3 \ln 5}\right) \] Vì \( \log_5\left(\frac{1}{3 \ln 5}\right) \) là một giá trị âm, nên: \[ f\left(1 + \frac{1}{3 \ln 5}\right) > 3 + \frac{1}{\ln 5} \] Vì \( \frac{1}{\ln 5} \approx 0.621 \), nên: \[ 3 + 0.621 = 3.621 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \( (1; +\infty) \) lớn hơn \( \frac{9}{2} \). Khẳng định này là sai. Kết luận a) Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) là \( f'(x) = 3 - \frac{1}{(x-1) \ln 5} \). b) Hàm số \( f(x) \) có một điểm cực đại. c) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (2; +\infty) \). d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \( (1; +\infty) \) lớn hơn \( \frac{9}{2} \). Đáp án đúng là: \[ \boxed{\text{c}} \] Câu 12: Câu hỏi: Cho hàm số \( f(x) = 2\sin x + 1 \). a) \( f(\pi) = 1 \) và \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \). b) Đạo hàm của hàm số đã cho là \( f'(x) = -2\cos x + 1 \). c) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \( f'(x) = 0 \) là \( \frac{\pi}{2} \). d) Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\) là -1. Trang 3 \( f'(x) \). Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: a) Ta tính giá trị của hàm số tại \( x = \pi \) và \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ f(\pi) = 2\sin(\pi) + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \] b) Ta tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin x + 1) = 2\cos x \] Do đó, đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ f'(x) = 2\cos x \] c) Ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 2\cos x = 0 \] \[ \cos x = 0 \] Giá trị của \( x \) trong khoảng \([0, 2\pi]\) thỏa mãn điều này là: \[ x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \] Nghiệm dương nhỏ nhất là: \[ x = \frac{\pi}{2} \] d) Ta tìm giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\): - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 2\sin(0) + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \] - Tại \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \] Do đó, giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\) là 3. Đáp số: a) \( f(\pi) = 1 \) và \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \) b) Đạo hàm của hàm số đã cho là \( f'(x) = 2\cos x \) c) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \( f'(x) = 0 \) là \( \frac{\pi}{2} \) d) Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\) là 3